Fagstoff

Matematiske bevis

Publisert: 21.03.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

I matematikken har vi en rekke påstander eller setninger. Et eksempel er setningen som sier at summen av vinklene i en trekant er 180 grader. Vi godtar ikke slike påstander uten videre. Vi krever bevis.

Direkte bevis

Dette er den mest vanlige formen for bevisførsel, og det er egentlig dette vi gjør når vi for eksempel løser likninger. 

Eksempel 1

Vi sier «Løs likningen» 

2x+4=6

Vi kunne like gjerne sagt «Bevis påstanden» 

2x+4=6x=1

Det vi gjør er å løse likningen på vanlig måte. Vi antar at noe er sant og trekker logiske slutninger fram til konklusjonen. Vi bruker implikasjonstegnet for å vise at vi trekker en logisk slutning. Løsning av en likning kunne vi ført slik 

Bilde av eksempel på løsning  

I dette tilfellet har vi også ekvivalens hele veien. Det betyr at x=12x+4=6. Det vil si at løsningen på likningen er korrekt. 

Vi kunne altså like gjerne skrevet 

Bilde av et matematisk eksempel  

Eksempel 2

En setning i matematikken sier at for et naturlig tall n gjelder 

n er et partall n2 er delelig med 4

Et direkte bevis for denne påstanden kan føres slik 

Bilde av et matematisk eksempel  

 I dette beviset brukte vi at ethvert partall kan skrives som 2t hvor t er et helt tall. Tilsvarende kan ethvert oddetall skrives som 2t+1 eller 2t-1. Se nedenfor. 

Partall og oddetall
Et helt tall n er partall hvis og bare hvis det finnes et helt tall t slik at n=2t.

 

Et helt tall n er oddetall hvis og bare hvis det finnes et helt tall t slik at
n = 2t + 1 eller n = 2t − 1. 

 

Eksempel 3

Det kan ofte være lett å trekke gale slutninger. Det gjelder for eksempel når vi løser irrasjonale likninger. 

Likninger hvor den ukjente befinner seg under ett eller flere rottegn, kalles irrasjonale likninger. 

Gitt likningen

x+1=-3

For å løse slike likninger må vi kvadrere på begge sider av likhetstegnet 

x+12=-32

Vi får da

x+1=9    x=8

Hvis vi nå setter prøve, får vi 

Venstre side:    x+1=8+1=9=3       
Høyre side:       -3

Vi ser at x=8 ikke er en løsning av likningen. Hvordan kan det henge sammen? 

Forklaring

Alle er enige om at

-55

Men samtidig er

-52=52

Vi ser altså at når vi kvadrerer tall som er forskjellige, kan kvadratene bli like. Men -52=52  medfører ikke at -5=5. 

Med implikasjons- og ekvivalenstegn ser vi at problemet er at vi ikke har ekvivalens når vi kvadrerer. 

Bilde av et matematisk bevis  

Eksempelet viser at det kan være viktig å være klar over når vi har implikasjon, og når vi har ekvivalens. 

Når vi løser irrasjonale likninger, har vi bare implikasjon når vi kvadrerer. Kvadreringen kan føre til at vi får en falsk løsning. Du må derfor alltid sette prøve på svaret når du løser irrasjonale likninger.