Fagstoff


Å faktorisere andregradsuttrykk med nullpunktmetoden

Publisert: 12.03.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

De fleste andregradsuttrykk lar seg ikke faktorisere ved å bruke kvadratsetningene og/eller ved å sette felles faktor utenfor parentes.

Eksempel

Vi ser på andregradsuttrykket x2-2x-8.

Vi starter med å finne nullpunktene.

Vi løser da likningen x2-2x-8=0

x2-2x-8=0           x=--2±-22-4·1·-82·1           x=2±4+322           x=2±62           x1=2-62=-2           x2=2+62=4

Uttrykket x2-2x-8 er altså lik null når x=-2 og når x=4.
Ser du at uttrykket x+2x-4 også er lik null når x=-2 og når x=4?

Vi multipliserer og ser at

x+2x-4=x2-4x+2x-8=x2-2x-8

Tenkeboble, faktorisere andregradsuttrykk 1  Vi har da at

x2-2x-8=x+2x-4

Andregradsuttrykket er faktorisert!

 

 

Eksempel

Vi ser på uttrykket 2x2-x-3.

Vi starter igjen med å finne nullpunktene, og løser likningen 2x2-x-3=0.

2x2-x-3=0           x=--1±-12-4·2·-32·2           x=1±254           x1=1-54=-1           x2=1+54=64=32

Uttrykket 2x2-x-3 er altså lik null når x=-1 og når x=32.

Vi prøver samme metode som i forrige eksempel og ser at uttrykket x+1x-32 også er lik null når x=-1 og når x=32.

Vi multipliserer og får

x+1x-32=x2-32x+x-32=x2-12x-32

Dette er ikke det samme andregradsuttrykket som vi startet med.

Tenkeboble, faktorisere andregradsuttrykk 2  Vi startet med

2x2-x-3

Når vi multipliserer ut parentesene, får vi

x2-12x-32

Ser du at vi kan multiplisere det siste uttrykket med 2, og få det andregradsuttrykket vi startet med?

Utvide uttrykket

Vi har da atTenkeboble, faktorisere andregradsuttrykk 3

2x2-x-3=2x+1x-32

Andregradsuttrykket er faktorisert!

Hvis vi ønsker et uttrykk uten brøk, kan vi multiplisere 2-tallet inn i den siste parentesen

2x2-x-3=2x+1x-32=x+12x-3

Den metoden vi har brukt for å faktorisere i de to eksemplene ovenfor, kalles nullpunktmetoden. Du skjønner kanskje hvorfor?

Nullpunktmetoden

ax2+bx+c=ax-x1x-x2

der x1 og x2 er løsningene av den generelle andregradslikningen ax2+bx+c=0.

Tenkeboble, faktorisere andregradsuttrykk 4 

 

Når det bare finnes én løsning av andregradslikningen, er x1 = x2.
Når andregradslikningen ikke har løsninger, kan ikke uttrykket faktoriseres.


Faktorisering av andregradsuttykk med Geogebra. Illustrasjon.