Fagstoff

Å løse andregradslikninger ved abc- formelen

Publisert: 12.03.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

I 1T brukte du abc- formelen for å løse andregradslikninger. 

abc - formelen

 

Andregradslikningen ax2+bx+c=0 har løsningen

 

x=-b±b2-4ac2a           a0                                     b2-4ac0

 

Vi bruker tegnet ±for å spare skriving.

Når vi løser en andregradslikning med abc - formelen, ordner vi først likningen slik at den kommer på formen ax2+bx+c=0.

Du husker at vi definerte kvadratroten bare til positive tall og null. Det vil si at andregradslikningen ikke har løsninger blant de reelle tall når det som står under rottegnet er mindre enn null.
Kanskje det digitale verktøyet du bruker da gir løsninger med bokstaven i? Det vil si at løsningen er imaginær. 

Andregradslikningen har bare én løsning når det som står under rottegnet er lik null. 

Vi skal nå se på noen eksempler på bruk av abc - formelen. 

Eksempel 1

          x2=5-4xx2+4x-5=0            x=-4±42-4·1-52·1            x=-4±16+202            x=-4±362            x=-4+62     eller    x=-4-62            x=1             eller    x=-5

Likningen har to løsninger. Det er altså to verdier for x som passer i den opprinnelige likningen. 

bilde av koordinatsystem Til høyre ser du at den grafiske løsningen gir samme resultat. 

 

 

 

 


Eksempel 2

x2+4x+4=0            x=-4±42-4·1·42·1            x=-4±16-162            x=-4±02            x=-2

bilde av den digitale grafiske løsningen

 

Uttrykket under rottegnet er null, og vi får bare én løsning. Dette ser vi også av den digitale grafiske løsningen til høyre. 

 

 

For å løse denne likningen kunne vi også brukt første kvadratsetning og fått 

 x2+4x+4=0     x+22=0         x+2=0             x=-2

Bilde av den grafiske løsningen Eksempel 3

x2-2x+4=0            x=--2±-22-4·1·42            x=4±4-162            x=4±-122            Ingen løsning

Vi får -12 under rottegnet og -12 er ikke definert når vi regner med reelle tall. Vi får derfor ingen løsning, dvs. at det ikke finnes noe reelt tall som er slik at andregradsuttrykket på venstre side i likningen blir null. 

Dette kan vi også se grafisk. Grafen til funksjonen f gitt ved f x=x2-2x+4 skjærer ikke
x - aksen. Se koordinatsystemet ovenfor. 

Ved CAS i GeoGebra får vi følgende løsninger ved å bruke knappen knapp for nøyaktig løsning i GeoGebra. Utklipp Løsning av andregradslikninger i GeoGebra. Illustrasjon.Legg merke til markering for «ingen løsning»