Fagstoff

Hvordan regne med bokstaver

Publisert: 12.03.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

Når vi regner med bokstaver, må vi huske at bokstaver står for en tallstørrelse eller bare et tall. Det vil si at vi må regne med bokstaver som om de var tall. 

Vi skal nå se på noen regler som forenkler regningen med bokstaver. 

  1. Det er vanlig å sløyfe multiplikasjonstegnet mellom et tall og en bokstav.
    Når vi skriver produktet mellom to tall, for eksempel 2·3, er multiplikasjonstegnet viktig. Uten multiplikasjonstegn ville det stått 23, som jo er noe ganske annet.
    Når vi erstatter 3-tallet med en bokstav, og får for eksempel 2·a, er det derimot vanlig å sløyfe multiplikasjonstegnet og bare skrive 2a. Det vil si at 2a betyr 2·a.

  2. Vi kan forenkle uttrykk ved å addere og subtrahere like ledd.
    Vi ser på følgende tallregning
            
    2·4+3·4=8+12=20

    Vi ser at vi like gjerne kan regne på følgende måte

    2·4+3·4=2+3·4=5·4=20

    Hvis vi nå erstatter tallet 4 med bokstaven a, får vi

    2·a+3·a=2a+3a=2+3a=5a

    Dette betyr at vi kan forenkle uttrykk ved å addere og subtrahere like ledd. For eksempel kan følgende uttrykk forenkles slik

    2a+3b-2×+7+5×-2-7b+2a=4a-4b+3×+5  

  3. Vi kan forkorte brøker ved å dividere med samme faktor i teller og nevner.
    Vi er kjent med at vi kan forenkle brøker ved først å faktorisere og så dividere med samme faktorer i teller og nevner (vi «stryker» faktor mot faktor)

    42030=2·2·3·5·72·3·5=14

    Hvis vi nå erstatter tallet 3 med bokstaven a og tallet 5 med bokstaven b, får vi tilsvarende

    28ab2ab=2·2·a·b·72·a·b=14

  4. Vi kan løse opp (fjerne) parenteser.
    Vi ser på følgende regneoppgave med tall

    2+3+6-2-4+3-2

    Vi har tidligere sett (se Regnerekkefølgen) at det som står inne i parenteser alltid skal regnes ut først. Vi får derfor at

    2+3+6-2-4+3-2=2+7-5=4

    Men følgende måte å regne på gir samme resultat
     
    bilete av ei tenkjeboble 2+3+6-2-4+3-2=2+3+6-2-4-3+2=4

    Husk at fortegnet til 3-tallet og 4-tallet inne i parentesene egentlig er + siden det ikke står noe fortegn. Med fortegn blir regningen
    2++3+6-2-+4+3-2=2+3+6-2-4-3+2=4

    Det viser seg at denne måten å regne på alltid blir riktig. 

    En parentes, inklusive regnetegnet pluss foran parentesen, kan fjernes ved at vi beholder alle leddene inne i parentesen og oppfatter plusstegn og minustegn som regnetegn.

    En parentes, inklusive regnetegnet minus foran parentesen, kan fjernes ved at vi skifter tegnene foran alle leddene inne i parentesen og oppfatter disse som regnetegn.
     
  5. Vi kan multiplisere tall med parentesuttrykk.
    Vi ser på regneuttrykket 10·3+2

    Siden det som står inne i parentesen skal regnes ut først, får vi at 10·3+2=10·5=50

    Bilde av to rektangel Vi kan tolke dette geometrisk som arealet av hele det store rektangelet til høyre med grunnlinje 10 og høyde 5. 

    Dette arealet kan også betraktes som summen av arealene til de to små rektanglene. Disse er henholdsvis 10·3 og 10·2.

    Det betyr at 10·3+2=10·3+10·2

    Vi erstatter tallene i regneoppgaven ovenfor med bokstaver. Samme geometriske tolking på figuren til høyre som på figuren ovenfor gir at

    a·c+d=ac+ad


    Dette betyr at vi generelt kan si at

    Når vi multipliserer et tall med et parentesuttrykk, må vi multiplisere tallet med alle leddene inne i parentesen. 

     
    Eksempel
    3x2x2-4x+2=3x·2x2-3x·4x+3x·2=6x3-12x2+6x
           
     
  6. Vi kan multiplisere to parentesuttrykk med hverandre.
    Vi ser på regneuttrykket 6+4·3+2Bilde av et rektangel .
     
    Siden det som står inne i parentesen skal regnes ut først, får vi at 6+4·3+2=10·5=50
     
    Geometrisk kan vi tolke dette som arealet av hele det store rektangelet ovenfor med grunnlinje 10 og høyde 5.
      
    Men vi ser geometrisk at dette arealet kan betraktes som summen av arealene av fire mindre rektangler. Disse arealene er henholdsvis 6·3, 6·2, 4·3 og 4·2.

    Det betyr at 6+4·3+2=6·3+6·2+4·3+4·2

    bilde av figuren som henvises til i teksten
    Vi erstatter tallene i regneoppgaven ovenfor med bokstaver. Samme geometriske tolking på figuren til høyre som på figuren ovenfor gir at  Dette betyr at vi generelt kan si at
      
    a+b·c+d=ac+ad+bc+bd

    Dette betyr at vi generelt kan si at

    Når vi multipliserer to parentesuttrykk med hverandre, må vi multiplisere hvert ledd i den ene parentesen med hvert ledd i den andre parentesen. 

     
    Eksempel
    a+b·c+d=             2x-4·3x+2=ac+ad+bc+bd              2x·3x+2x·2-4·3x-4·2=                                  6x2+4x-12x-8                                  6x2-8x-8