Fagstoff

Regneregler for potenser

Publisert: 06.03.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

Vi kan regne med potenser

34·35=3·3·3·34 ganger·3·3·3·3·35 ganger=39

Vi ser at

34·35=34+5=39 

Regneregel 1 for potenser

am·an=am+n

 

Tilsvarende gjelder når vi dividerer potenser på hverandre 

3632=3·3·3·3·3·33·3=34

Vi ser at

3632=36-2=34

Regneregel 2 for potenser

 

La a være et tall forskjellig fra null, og la m og n være naturlige tall, og foreløpig må vi ha at m>n.

 

aman=am-n

 

Hvordan blir utregningen hvis potensen i nevneren har større eksponent enn potensen i telleren?
Vi bytter om på potensene i eksemplet ovenfor. Ved vanlig brøkregning får vi

3236=3·33·3·3·3·3·3=134

Ved å bruke regneregelen for potenser, får vi 

3236=32-6=3-4

Vi ønsker at regnereglel 2 for potenser også skal gjelde i slike tilfeller. Det betyr at  134  og 3-4  må være samme tallet.

Definisjon

 

For alle tall a ≠ 0 og naturlige tall n gjelder at

 

a-n=def1an

Hva så hvis potensene i teller og nevner har like eksponenter? Vi ser på et eksempel.
Ved vanlig brøkregning får vi 

3232=3·33·3=1

Ved å bruke regneregel 2, får vi 

3232=32-2=30

Vi ønsker også her at regnereglene for potenser skal gjelde. Det betyr at 30 må være
lik tallet 1.

Definisjon

 

For alle tall a ≠ 0 gjelder at

 

a0=def1

Med disse to nye definisjonene gjelder regneregel 1 og 2 for alle heltallige eksponenter, også når m ikke er større enn n.

 

Studer følgende regnestykker hvor definisjonen på potenser er brukt gjentatte ganger sammen med vanlige regneregler 

2·34=2·3·2·3·2·3·2·3=2·3·2·3·2·3·2·3=2·2·2·2·3·3·3·3=24·34

234=23·23·23·23=2·2·2·23·3·3·3=2434

234=23·23·23·23=2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·2=212=23·4

Vi kan sette opp tilsvarende regnestykker hvor vi bytter ut tallene 2, 3 og 4 med hvilke som helst andre reelle tall, og vi får tre nye regneregler for potenser.
Vi kan da summere opp de definisjoner og regneregler vi har for potenser. Disse gjelder under de forutsetninger som er gitt ovenfor. Vi forutsetter også at vi ikke får null i nevner!