Fagstoff

Likninger med rasjonale uttrykk

Publisert: 11.01.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

En brøk er ikke definert når nevneren er lik null. Vi må derfor være spesielt oppmerksomme når vi løser likninger med rasjonale uttrykk hvor den ukjente opptrer i nevneren.

Vi ser på følgende likning

12x-2+2x-3=x-2x2-4x+3

Dette er de samme brøkene som vi arbeidet med i forrige eksempel (se forrige side i menyen), og vi vet at fellesnevneren er 2x-1x-3.

Eventuelle løsninger som gir x = 1 eller x = 3 må da forkastes fordi en eller flere av brøkene ikke er definert for disse x - verdiene. Før vi går i gang og løser likningen, markerer vi dette ved å skrive x1, x3, øverst til høyre. (Se nedenfor.)

Så går vi i gang med selve løsningen! Det første vi gjør er å multiplisere med fellesnevneren på begge sider av likhetstegnet. Hvorfor er dette lurt? Jo, fordi vi da kan forkorte brøkene og står igjen med en likning uten rasjonale uttrykk. 

x1, x3
Skriv opp hvilke løsninger som eventuelt må forkastes før du går i gang med selve løsningen!

12x-2+2x-3=x-2x2-4x+3

1·2·x-1x-32x-1+2·2x-1x-3x-3=(x-2)·2x-1x-3x-1x-3                              x-3+4x-1=x-2·2                                x-3+4x-4=2x-4                                  x+4x-2x=-4+3+4                                            3x=3                                              x=1

Likningen har ingen løsning fordi en eller flere av brøkene ikke er definert for x=1.

Legg merke til hvor enkel likningen blir så fort du har multiplisert med fellesnevneren på begge sider av likhetstegnet!

Før vi går videre skal vi se en gang til på de to siste eksemplene vi har arbeidet med.

Først trakk vi sammen og forkortet

12x-2+2x-3-x-2x2-4x+3

Så løste vi likningen

12x-2+2x-3=x-2x2-4x+3

Merk deg forskjellen! Her er det fort å gjøre feil!

I begge tilfeller fant vi først fellesnevneren. Men hva gjorde vi så?

Da vi løste likningen, multipliserte vi med fellesnevneren på begge sider av likhetstegnet og fikk en enkel likning uten brøker. Dette kan vi gjøre i en likning fordi vi kan multiplisere med samme uttrykk på begge sider i en likning og fortsatt beholde likhet mellom venstresiden og høyresiden.

Når vi skal trekke sammen og forkorte et uttrykk, kan vi imidlertid ikke multiplisere med fellesnevneren fordi uttrykket da endrer verdi. Det vi gjorde her var å utvide hver av brøkene slik at alle fikk samme nevner, fellesnevneren. Så satte vi på felles brøkstrek og trakk sammen.

Ved CAS i GeoGebra får vi også som resultat at likningen ikke har løsning. Legg merke til hvordan dette markeres forskjellig ettersom vi bruker kommandoene «Løs» eller «NLøs»

Løse likninger med rasjonale uttrykk i GeoGebra. Bilde.