Fagstoff

Fullstendige kvadrater

Publisert: 30.12.2011, Oppdatert: 17.02.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Et fullstendig kvadrat er et andregradsuttrykk som vi kan faktorisere direkte ved hjelp av første eller andre kvadratsetning.

For eksempel er uttrykket  x2-6x+9 et fullstendig kvadrat fordi 

x2-6x+9=x-32

Første og andre kvadratsetning

(a+b)2 = a2 +2ab + b2

(a-b)2 = a2 -2ab + b2

Hvordan kan vi se om et andregradsuttrykk er et fullstendig kvadrat?

Vi bruker uttrykket x2-6x+9 som eksempel.

  1. Første forutsetning er at andregradsleddet og konstantleddet er kvadratiske uttrykk med positivt fortegn. Det stemmer her, og vi finner at a=x2=x og b=9=3
  2. Videre må «det dobbelte produkt», det vil si 2ab, vere lik 6x. Vi sjekker: 2ab=2·x·3=6x. Det stemmer.
  3. Førstegradsleddet er negativt. Det betyr at vi kan bruke andre kvadratsetning.
    Da er x2-6x+9=x-32 og vi har et fullstendig kvadrat. 

Oppgave

Undersøk om x2+8x+16 og x2-5x+25 er fullstendige kvadrater.

Å lage fullstendige kvadrater

Det er få andregradsuttrykk som er fullstendige kvadrater. Men det er mulig å faktorisere andregradsuttrykk ved å lage fullstendig kvadrat og så bruke konjugatsetningen.

(a+b)2 = a2 +2ab + b2

(a-b)2 = a2 -2ab + b2

Vi skal se på to eksempler hvor vi bruker denne metoden.

Eksempel 1

Vi skal faktorisere andregradsuttrykket x2+4x-5.

  1. Andregradsleddet er et kvadratuttrykk, x2. Det gir a=x2=x.
  2. Konstantleddet, −5, er ikke et kvadrattall med positivt fortegn.
    Vi legger til og trekker fra kvadrattallet b2 til uttrykket, og får
    x2+4x-5=x2+4x+b2Fullstendig kvadrat-b2-5
    Dette gjør vi for å lage et fullstendig kvadrat av de tre første ledda.
  3. Vi må ha 2ab=4x. Vi kan då finne b.
    2ab=4xb=4x2a=4x2x=2
  4. Vi får da
    x2+4x-5=x2+4x+22-4-5        Vi legger til og trekker fra 22                     Fullstendig kvadrat                    =(x+2)2-9      Fullstendig kvadrat etter 1. kvadratsetning                    =(x+2)2-32       Vi bruker konjugatsetningen                    =((x+2)+3)·((x+2)-3)                    =(x+5)·(x-1)

Vi har nå faktorisert andregradsuttrykket og fått x2+4x-5=x+5x-1.

Eksempel 2

Vi skal faktorisere andregradsuttrykket 2x2-8x-42.

  1. Her er ikke andregradsleddet et kvadratuttrykk. Men når vi setter faktoren 2 utenfor en parentes, så får vi et uttrykk hvor andregradsleddet er et kvadratuttrykk
    2x2-8x-42=2x2-4x-21
  2. Vi faktoriserer parentesuttrykket. Andregradsleddet er x2. Det gir a=x2=x.
  3. Konstantleddet, −21, er ikke et kvadrattall med positivt fortegn.
    Vi legger til og trekker fra kvadrattallet b2 til uttrykket, og får
    x2-4x-21=x2-4x+b2Fullstendig kvadrat-b2-21
  4. Vi må ha 2ab = 4x. Vi kan da finne b.
    2ab=4x4x2a=4x2x=2
  5. Vi får da
    x2-4x-21=x2-4x+22-4-21        Vi legger til og trekker fra 22                     Fullstendig kvadrat                    =(x-2)2-25      Fullstendig kvadrat etter 2. kvadratsetning                    =(x-2)2-52       Vi bruker konjugatsetningen                    =((x-2)+5)·((x-2)-5)                    =(x+3)·(x-7)
     

Vi har nå faktorisert andregradsuttrykket og fått 2x2-8x-42=2x2-4x-21=2x+3x-7.

Metode for å faktorisere uttrykk ved kvadratsetningene

 

  • Hvis andregradsleddet ikke er et kvadratisk uttrykk, setter vi faktoren foran andregradsleddet utenfor en parentes 
  • Vi lager så et fullstendig kvadrat av parentesuttrykket ved å legge til et kvadratisk uttrykk slik at andregradsleddet, førstegradsleddet og det vi har addert utgjør nå et fullstendig kvadrat. Vi trekker samtidig fra det kvadratiske uttrykket for at uttrykket ikke skal endre verdi
  • Vi bruker så konjugatsetningen til å faktorisere uttrykket hvis dette er mulig. Det vil si hvis tallet etter det fullstendige kvadratet er negativt
Oppgaver