Fagstoff

Sammenheng mellom baneparametre

Publisert: 07.11.2011, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Bevegelsen av en satellitt i bane rundt jorda kan beskrives i forskjellige referansesystemer. De to referansesystemene som er behandlet her, er begrenset til bevegelse i et plan, og de har derfor fire frihetsgrader. Det betyr av hvis vi kjenner fire baneparametre, sammen med den parameteren som definerer gravitasjonsfeltet, μ, er bevegelsen fullstendig definert. I et kartesisk koordinatsystem er det posisjon og hastighet i to ortogonale retninger. I et polarkoordinat-system er det størrelse, form og orientering av den elliptiske banen, a, ε og ω sammen med posisjonen i banen, definert ved hjelp av sann anomali, ν. Her skal vi behandle hvordan vi kan gå mellom de to systemene.

Merk: Det er i dette publiseringssystemet  liten forskjell på den greske bokstaven ny, ν, som står for en vinkel, og den latinske bokstaven v, som står for hastighet

Bilete av elipsebane.Ellipsebane
Opphavsmann: Gunnar Stette
 

 

Viktige parametre for elliptiske baner

 

En satellitt beveger seg i et kulesymmetrisk tyngdefelt med sentrum i origo. Tyngdefeltet er karakterisert av parameteren µ, som for jordas tyngdfelt er gitt av 398 602,4 km3/s2.

a=2μ-rv2

Sann anomali, ν, er gitt av

v=a·cosa·1-ε2-rεr

Når eksentrisiteten, e, den lange halvaksen, a, og sann anomali, ?, er kjent, kan r, avstanden til satellitten, beregnes ut fra geometriske betraktninger

r=1-e2·a1+εcosυ

Banehastigheten, v, kan så beregnes av den lange halvaksen, a, og r samt av µ.

v=μ2r-1a

Vinkelen mellom radiusvektor til satellitten og hastighetsvektoren betegnes a, og den er gitt av

a=sin-11-ε2·μar·v

En oversikt over sammenhengen med kartesiske koordinater (x,y) er gitt i Fordypningsstoff: Sammenheng mellom baneparametre

Baneforandring i baneplanet


Når en satellitt beveger seg i et kulesymmetrisk tyngdefelt uten påvirkning av ytre krefter vil den lange halvaksen være konstant mens avstanden r og banehastigheten v kan variere.
v=μ2r-1aHvis banehastigheten forandres i størrelse men ikke i retning ved en kortvarig kraft, for eksempel fra en rakettmotor, vil banen forandres i baneplanet. Da vil posisjonen r være uforandret mens v og a vil forandres.

Før hastighetsforandring v1=μ2r-1a1
Etter hastighetsforandring v2=μ2r-1a2

Eksempel: Oppbremsing av satellitt for å bringe den inn i atmosfæren.

Iridiumsatellittene går i sirkulære baner med en banehøyde på 780 km. Operatørene av systemet har forpliktet seg til fjerne utbrukte satellitter ved å senke de ned i atmosfæren slik at de brenner opp og fordamper. Dette kan gjøres ved å redusere hastigheten og overføre satellitten til en elliptisk bane.  Hvis perigeum senkes til 10 km høyde vil satellittene brenne opp etter kort tid.

Før oppbremsing: r = a1 =(6378 + 780) km = 7158 km. Hastigheten er gitt av v=μr

Her er µ = 398603,2 km3/ s2

Det gir en hastighet på 7562 km/s.

Etter oppbremsingen, som antas å skje momentant, er r uforandret 7158 km men a er
a = ½ (7158+6388) = 6773 km

Hastigheten i apogeum for den elliptiske banen er gitt av
v2=μ2r-1a2

v2=398603,227158-16773 Det gir  V2 = 7,247 km/s
Nødvendig hastighetsreduksjon blir dermed:  Δv = (7,562-7,247) km/s = 0.315 km/s

 

Relatert innhold

Faglig