Fagstoff

Regneregler for potenser

Publisert: 28.10.2011, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

Vi kan regne med potenser

 34·35=3·3·3·34 ganger·3·3·3·3·35 ganger=39

Vi ser at

  34·35=34+5=39

Regneregel 1 for potenser

am·an=am+n

 

Tilsvarende gjelder når vi dividerer potenser på hverandre:

 3632=3·3·3·3·3·33·3=34

Vi ser at

 3632=36-2=34

Regneregel 2 for potenser

La a være et tall forskjellig fra null, og la m og n være naturlige tall, og foreløpig må vi ha at m>n.


 aman=am-n

 

 

 

Hvordan blir utregningen hvis potensen i nevneren har større eksponent enn potensen i telleren?
Vi bytter om på potensene i eksemplet ovenfor.
Ved vanlig brøkregning får vi

 3236=3·33·3·3·3·3·3=134

Ved å bruke regneregelen for potenser, får vi

 3236=32-6=3-4

Vi ønsker at regneregel 2 for potenser også skal gjelde i slike tilfeller. Det betyr at 134og 3-4 må være samme tallet.

Definisjon

For alle talla ≠ 0 og naturlige tall n gjelder at

 

a-n = def1an

Hva så hvis potensene i teller og nevner har like eksponenter? Vi ser på et eksempel.
Ved vanlig brøkregning får vi

  3232=3·33·3=11=1

Ved å bruke regneregel 2, får vi

 3232=32-2=30

Vi ønsker også her at regnereglene for potenser skal gjelde.
Det betyr at 30 må være lik tallet 1.

Definisjon

For alle tall a ≠ 0 gjelder at

 

a0 = def1

Med disse to nye definisjonene gjelder regneregel 1 og 2 for alle heltallige eksponenter, også når m ikke er større enn n.

 

Studer følgende regnestykker hvor definisjonen på potenser er brukt gjentatte ganger sammen med vanlige regneregler.

2·34=2·3·2·3·2·3·2·3=2·3·2·3·2·3·2·3=2·2·2·2·3·3·3·3=24·34

234=23·23·23·23=23·23·23·23=2·2·2·23·3·3·3=2434

234=23·23·23·23=(2·2·2)·(2·2·2)·2·2·2·2·2·2=212=23·4

Vi kan sette opp tilsvarende regnestykker hvor vi bytter ut tallene 2, 3 og 4 med hvilke som helst andre reelle tall, og vi får tre nye regneregler for potenser.
Vi kan da summere opp de definisjoner og regneregler vi har for potenser. Disse gjelder under de forutsetninger som er gitt ovenfor. Vi forutsetter også at vi ikke får null i nevner!
Oppgaver

Generelt