Fagstoff

Teoretisk modell av jordas magnetfelt

Publisert: 05.10.2010
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Det er praktisk umulig, og heller ikke nødvendig, å utføre magnetiske observasjoner alle steder på jordoverflaten. Man forsøker i stedet å lage magnetiske kart ved hjelp av matematiske modeller og de observasjoner en har.

Modell av jordmagnetfeltetModell av jordmagnetfeltet


Omkring 1980 var det 250 magnetiske observatorier i kontinuerlig drift, hvorav 7 i Norge. Det mest kjente er i Tromsø. Vi beskriver jordas magnetfelt ved hjelp av en modell der vi antar at feltet nær jordoverflaten tilnærmet kan betraktes som feltet fra en dipol i jordas sentrum, eller en homogent magnetisert kule i dipolaksens retning.

En tenker seg en magnetisk dipol (en stavmagnet) i jordas indre som danner en vinkel på tilnærmet 11,5° med jordaksen. Dipolens akse har to skjæringspunkt med jordoverflaten. Disse skjæringspunktene definerer de magnetiske polene, nordpol og sydpol. I 2001 var koordinatene for den nordlige magnetiske polen 81.3° N og 110.8° V

Middelverdier for magnetfeltet i TromsøMiddelverdier for magnetfeltet i Tromsø

Kilde: Tromsø Geophysical Observatory


Fordypning: Feltstyrke
Modell av jordmagnetfeltetModell av jordmagnetfeltet
Siden jorda er kuleformet blir regningen lettere hvis en benytter polarkoordinater. Polarkoordinater (se figuren ovenfor) består av to størrelser, r og θ , der r er radiell avstand fra jordas sentrum og θ er vinkelavstand til dipolaksen (kalt kolatituden). Det magnetiske potensialet ifølge dipolmodellen er gitt ved
$$V_M(r,\theta) = - \frac{\mu_0}{4 \pi r^3} \vec{M} \cdot \vec{r} = - \frac{\mu_0}{4 \pi r^2} M \cos \theta
der M er jordens magnetiske dipolmoment (ca. 8 · 1022 A m2) og μ0 er permeabiliteten i fritt rom. Potensialet VM er sammensatt av to ledd, VM indre og VM ytre. VM ytre skyldes strømmer utenfor jorden. Det bidrar i middel bare med ca. 1 til 2 % til det permanente feltet. Vi ser derfor bort fra dette leddet i det følgende. Magnetfeltet varierer fra sted til sted på jorden fordi vinkelen θ varierer. Feltstyrken svarende til dette potensialet har følgende horisontale og vertikale komponenter:
$$H = \frac{1}{r} \frac{\mathrm{d} V_M}{\mathrm{d} \theta} = \frac{\mu_0}{4\pi R^3} M \sin \theta = H_E \left(\frac{R}{r}\right)^3 \sin \theta$$

$$Z = \frac{\mathrm{d} V_m}{\mathrm{d} r} = 2 H_E \left(\frac{R}{r}\right)^3 \sin \theta$$

$$H_E = \frac{\mu_0}{4 \pi} \left(\frac{1}{R^3}\right) M$$

$$\tan I = \frac{Z}{H} = 2 \cot \theta$$
Figuren over viser feltet fra en homogent magnetisert kule med åpne og lukkede feltlinjer. Den fiolette linjen er det magnetiske ekvator. Det var denne modell av jordmagnetfeltet som var rådende frem til ca. 1960.
HE er ekvatorverdien (Z=0) av magnetfeltet ved jordoverflaten (R er jordradien). Generelt gjelder at den totale feltstyrke B er gitt ved følgende likning:
$$B = \sqrt{H^2 + Z^2} = H_E \left( \frac{R}{r} \right)^3 \cdot \sqrt{1 + 3 \cos^3 \theta}$$
Ved polene er vinkel θ lik null og ved ekvator er den 90°. Om θ = p/2 og r = R får vi at B = HE.

Jordmagnetfeltet BJ er dobbelt så stort ved polene som ved ekvator. Feltet ved polene er ca. 60 000 nT, mens det ved ekvator er tilnærmet lik 30 000 nT. Ved polene er feltets retning normalt på jordoverflaten, mens ved ekvator er feltet parallelt med jordoverflaten. Feltets retning i rommet forandrer seg med magnetisk bredde. Da det horisontale feltet er meget svakt nord og syd for ca. 75 magnetisk bredde, kan man ikke stole på kompasset i polarområdene.

Så lenge vi befinner oss på jordoverflaten er r = RJ og størrelsen (RJ / r)3 er lik 1. Hvis vi går ut fra jordoverflaten, øker r og dipolfeltet avtar. Reduksjonen går som tredje potens av avstanden, dvs. som 1/r3. Det vil si at for r = 2 RJ (jordradier) (RJ = 6400 km) så er feltet bare 0,125, altså 12,5 %, av feltet ved jordoverflaten.

Fordypning: Sfærisk harmonisk analyse

 

For å bestemme de magnetiske elementene alle steder på jordas overflate må vi foreta en analyse av de observerte verdiene av magnetfeltet. Ved en sfærisk harmonisk analyse utjevnes de målte verdiene. Fra slike analyser får vi en relativt nøyaktig verdi for jordas magnetiske potensial  og vi får bestemt polpunktene for feltet. Dip-polene (hvor H = 0, B = Z og I = 90°) viser seg å ligge langt fra dipol-polene. Dette betyr at dipolbeskrivelsen ikke er så bra. Dipolbeskrivelsen gir for eksempel deklinasjoner (misvising) for Skandinavia i området 20–30° vest, mens de observerte verdier varierer mellom noen få grader øst og vest. Fra verdensomfattende kart (figuren nedenfor) av magnetfeltet, ser vi at feltet heller ikke er kulesymmetrisk; dvs. dipolbeskrivelsen er ikke god nok.

 

En sfærisk harmonisk analyse av det geomagnetiske feltet er matematisk komplisert. Her skal vi bare skissere prinsippet. Om den elektriske strøm mellom jorda og den øvre atmosfæren er tilnærmet lik null, betyr det at det eksisterer et potensial slik at

 

 

$$B= - \nabla V_M$$

 

Videre har vi alltid at en magnetfeltlinje er lukket i seg selv. Matematisk betyr det at divergensen til feltet er null. Dette gir oss en differensialligning av annen orden som har en vanskelig matematisk løsning. Resultatet er at vi må lage matematiske modeller hvor vi tar med høyere ordens ledd enn dipolen, og som kan beskrive de observerte verdiene av magnetfeltet mer nøyaktig.

 

Det skalare magnetiske potensial VM er forårsaket av strømmene i jordas indre. Når dette er kjent kan vi regne ut feltet overalt på jorda.

 

Isomagnetisk kartIsomagnetisk kart

Det isomagnetiske kartet i figuren er basert på modellberegninger av det totale jordmagnetiske felt. Konturene forbinder punkter med samme magnetiske feltstyrke. Tallene angir feltstyrke i mikrotesla. Magnetfeltet har maksimalverdier i Nord-Canada og Sibir og over Victoria Land i Antarktis, mens det i et område utenfor kysten av Sør-Amerika når en minimumsverdi.

Fordypning: Eksentrisk dipolbeskrivelse

 

For å få en mer nøyaktig beskrivelse av $\vec{B}_J$ må vi ta med høyere ordens ledd, det vil si kvadrupol, oktupolledd, osv. I tillegg må vi ta hensyn til magnetiske metaller og mineraler i jordskorpa. Elektriske strømmer i jordas øvre atmosfære er viktige for å forklare jordas magnetfelt. Ved å legge kvadrupol-leddene til dipol-termene, får vi det som kalles den eksentriske dipolbeskrivelse. For mange formål er denne modellen akseptabel. Mens dipol-leddet avtar med avstanden fra jordoverflata som $1/r^3$, vil kvadrupolene minske med $1/r^4$. Magnetiske avvik i jordskorpa betyr derfor relativt lite i store avstander ($>3R$) fra jordoverflaten.

 

Den eksentriske dipolbeskrivelsen brukes mye i analyser av geofysiske data. Feltet har samme styrke som fra en dipol, men dens origo er forskjøvet ca. 400 km fra jordas sentrum i retning 10° N og 150° Ø. For å lage en modell som beskriver feltet på jordoverflaten meget bra (dvs. hvor avviket fra observasjonen er < 1%), må vi ta med ledd opp til sjette orden.

 

Det observerte feltet avviker betydelig fra et eksentrisk dipolfelt i avstander større enn 4 til 5 jordradier. Solvinden er årsaken til deformasjon av jordfeltet, spesielt i store avstander fra jorda.

 

Teorien med en magnetpol i jordas indre gir en rimelig god tilnærmelse til det virkelige B-feltet. Avviket fra dipol-symmetri kan illustreres ved verdien av deklinasjonen (misvisningen) i Skandinavia. En god del av denne uoverensstemmelsen kan fjernes hvis vi antar en eksentrisk dipol. Videre forandrer vi dipolens retning slik at den skjærer jordoverflaten ved ca. 81° 0' N, 275° 3' Ø og ved 75° 0' S, 120° 4' Ø. Ved å bruke den fullstendige matematiske modellen kan man oppnå så god tilnærmelse man ønsker hvis en tar med tilstrekkelig antall ledd.

Relatert innhold

Fordypningsstoff for