Fagstoff

Barometerformelen - Hvordan varierer trykket og tettheten i en isoterm, homogen, nøytral atmosfære?

Publisert: 04.08.2010, Oppdatert: 01.11.2013
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

På grunn av vinder og turbulens er atmosfæregassene blandet i et tilnærmet konstant forhold opp til ca. 100 km. Dette høydeområdet kalles for homosfæren. Den midlere molekylare massen for atmosfæren i dette området er tilnærmet lik 29 u. Dette får man ved å ta med følgende atommassebidrag: 78/100 av [N2], 21/100 av [O2] og 1/100 av Ar. Dette betyr at i enhver luftprøve med for eksempel en million partikler, tatt mellom jordoverflaten og ≈ 90 km høyde, er antallet N, O, Ar osv. konstant. Dette er ikke tilfelle med de variable gassene, men de utgjør <0,1%.

 

Fordi atmosfæren opptil ca. 100 km er tilnærmet homogen, kan vi bruke likningene for en idealgass for å regne ut hvordan trykket og tettheten varierer med høyden. Trykket er en viktig parameter for å angi hvor mye atmosfære som finnes i forskjellige høyder. Fordi luften ikke faller til jorda – som et eple, må det finnes krefter som er like store og motsatt rettet vekten av luften. Lufttrykket i et hvilket som helst punkt er et mål for vekten av luften over punktet. Trykket oppover balanserer gravitasjonskraften. Om trykket var mindre ville luften bli sammentrykt. Vekten av hele atmosfæresøyle er lik vekten av et ca. 10 meter tykt vannlag. Dette betyr at atmosfæren trykker på oss mennesker. Om vi antar at vår overflate er ca. 0,5 m2 – er trykket på 5 tonn. Vi merker praktisk talt ikke dette trykket fra atmosfæren fordi vår kropp har et mottrykk som er like stort.

 

 

Høydevariasjon av trykkHøydevariasjon av trykket i en statisk atmosfære.
Opphavsmann: Narom

Vi skal bruke figuren (se bildet) – som viser en enkel statisk atmosfæremodell (dvs. ingen bevegelser) – til å utlede hvordan trykket og tettheten varierer med høyden i en isoterm atmosfære med fullstendig blanding; dvs. i homosfæren.

Skalahøyden

Vi innfører nå skalahøyden, H - som er en viktig parameter for diskusjoner av alle atmosfærer:

$$H = \frac{k \cdot T}{\tilde{m} \cdot g}$$

hvor $\tilde{m}$ = den midlere molekylære masse og $g$ = tyngdens akselerasjon.

Den fysikalske betydning av H er følgende. Om atmosfæren presset sammen slik at tettheten er konstant og har samme verdi som ved jordoverflaten, så angir H hvor mye luft det er i atmosfæren. Fra likningen kan vi se at om hele atmosfæren trykkes sammen til samme trykk som ved bakken, vil høyden på laget bare være ca. 8 km. Ved å summere tykkelsen av de forskjellige gassene i atmosfæren ved normalt trykk og temperatur får vi de verdiene for skalahøyden som er oppgitt i tabellen på denne siden. 

Barometerformelen

Trykket som funksjon av høyden er gitt ved:

$$p(h) = p_0 \cdot e^{-h/H}$$

 

Ligningen, som også kalles barometerformelen, viser at trykket i homosfæren avtar eksponsielt med høyden opp til ca. 100 km.

Skalahøyden for tetthet er gitt ved

$$\frac{1}{H_n} = \frac{1}{n} \frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}h}$$

 

Fra denne likningen får vi – på samme måte som for trykket – at

$$n = n_0 \cdot e^{-h/H}$$

 

Fra likningene kan vi konkludere at både trykk og tettheten av partikler i atmosfæren avtar eksponensielt med høyden. Dette betyr at hver gang vi flytter oss en skalahøyde opp i atmosfæren har tettheten og trykket minsket med 1/e; dvs med 1/2,7, det vil si en tilnærmet halvering hver 5. kilometer. I en isoterm atmosfære er skalahøyden for trykk lik skalahøyden for tetthet, dvs. Hp = Hn. Skalahøyden angir således den økning i høyde som er nødvendig for at trykket skal reduseres med 2,7.

Om vi setter inn for konstantene i likning får vi følgende verdi for skalahøyden:

$$H = \frac{k\cdot T}{\tilde{m} g} = \frac{1,38\cdot 10^{-23} \mathrm{ J/K } \cdot 288 \mathrm{ K }}{4,8\cdot 10^{-26} \mathrm{kg} \cdot 9.8 \mathrm{ m/s}^2} \approx 8000 \mathrm{ m}$$

 

Fordypning: Utledning av 1/H

 

$$\frac{1}{H} = - \frac{1}{p}\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} h}$$
$$\frac{1}{p}\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} h} = \frac{1}{n}\frac{\mathrm{d} n}{\mathrm{d} h} + \frac{1}{T}\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} h}$$

Lufttrykket avtar tilnærmet eksponsielt med høyden opp til ca. 100 km. Over 100 km avtar trykket langsommere. Trykket ved 100 km er derfor bare en ti-milliontedel av hva det er ved jordoverflaten; dvs. p100km = 10-7 p0 eller 1/10.000.000 av p0. Likevel er det omkring 1018 molekyler per kubikkmeter i denne høyden. Ved jordoverflaten er tettheten 1025 partikler per m3. Det totale antall partikler i hele vår atmosfære er beregnet til ca. 1044 (et ufattelig stort tall; dvs. ett 1-tall med 44 nuller bak). Fordi tettheten avtar så raskt med høyden kan vi ikke oppholde oss lenge over ca. 5000 m uten å ha med ekstra oksygen.

De variable gassene med liten andel som f. eks. O3, H2O, CO2 osv. varierer markert med høyde, breddegrad og årstid. Men fordi tettheten er så lav, vil de ikke vesentlig forandre den konstante molekylære massen i homosfæren.

Fordypning: Utledning av barometerformelen

Vi betrakter et element i luftsøylen, i høyde h, med tetthet ρ. Tetthet er per definisjon massen av gassen pr. volumenhet, dvs. kg/m3. Arealet A (dvs. tverrsnittet av luftsøylen) er 1 m2 og høyden av elementet er dhh. I en statisk atmosfære ligger luftelementet i ro fordi trykket og tyngden er like store og motsatt rettet. Variasjonen i trykket over høyden Δh = dh er dp = Δp.

Massen (m) av volumelementet i høyden h er

$$m = g \cdot \rho \cdot A \cdot\mathrm{d} h = g \cdot n \cdot \tilde{m} \cdot A \cdot \d h$$

 

hvor $g$ = tyngdens akselerasjon, $n$ = antall molekyler av gassen pr. $\mathrm{m}^3$, mens $\tilde{m}$ er den midlere molekylære masse.

 

Videre har vi at

$$\rho = \sum n_i \cdot m_i = n \cdot \tilde{m}$$

 

hvor i refererer til de forskjellige gassene i atmosfæren.  Ved likevekt har vi at

$$\mathrm{d} p = - g \cdot n \cdot \tilde{m} \cdot \mathrm{d} h$$

 

Vi får minus fordi trykket avtar med høyden, mens h er positiv oppover. Tyngdens akselerasjon g avtar med høyden, men opptil 100 km er variasjonen så liten at vi kan bruke verdien ved jordoverflaten som er 9,8 m/s2.

Om vi dividerer ligningen med p og bruker tilstandsligningen for en ideell gass, P = n k T,får vi:

$$\frac{\mathrm{d} p}{p} = - \frac{g \cdot \tilde{m}}{kT} \mathrm{d} h$$

 

Ligningen over kan integreres mellom jordoverflaten ($p = p_0$ og $h = 0$) og høyden $h$. Hvis vi setter inn skalahøyden $H = kT/\tilde{m} g$ og integrerer får vi
$$\int_{p_0}^p \frac{\mathrm{d} p}{p} = - \frac{1}{H} \int_0^h \mathrm{d} h$$

 

Fordi vi har antatt en isoterm atmosfære er skalahøyden tilnærmet konstant; dvs. $\tilde{m}$, $g$ og $T$ er konstante. Vi får da barometerformelen:
$$p(h) = p_0 \cdot e^{-h/H}$$
Oppgaver
Relatert innhold

Fordypningsstoff for