Gjennomsnittlig vekstfart, løsningsforslag

Oppgave 1

Silje har en solsikke. Silje måler solsikken hver uke i 8 uker. Hun finner at veksten til solsikken tilnærmet følger grafen nedenfor.

 

a) Finn vekstfarten til solsikken per uke. Solsikken har vokst 160 cm i løpet av de 8 ukene.

Vekstfarten per uke blir dermed:

b) Hva forteller vekstfarten?

Vekstfarten viser gjennomsnittlig ukentlig vekst i cm for solsikken.

c) Finn et funksjonsuttrykk som beskriver veksten til solsikken etter x antall uker.

Stigningstallet (vekstfarten) per uke er 20. Konstantleddet er 0.

Funksjonsuttrykket blir da S(x) = 20x

Oppgave 2

En ball sparkes rett opp i lufta. Grafen nedenfor viser ballens høyde over bakken etter t sekund.

 

a) Finn gjennomsnittlig vekstfart mellom 1 og 2 sekund.

Av grafen ser vi at ballen stiger fra 20 m til 30 m mellom 1 og 2 sekund.

Gjennomsnittlig vekstfart blir:Gjennomsnittlig vekstfart mellom 1 og 2 sekund blir 10 m/s.

b) Hva forteller vekstfarten?

Vekstfarten forteller gjennomsnittlig fart til ballen i et bestemt tidsintervall.

c) Finn gjennomsnittlig vekstfart mellom 0 og 2 sekund.

Gjennomsnittlig vekstfart mellom 0 og 2 sekund:

Gjennomsnittlig vekstfart mellom 0 og 2 sekund blir 15 m/s.

d) Forklar hvorfor svarene i a) og c) blir ulike.

Farten til ballen avtar når ballen nærmer seg toppunktet for så å øke igjen når ballen nærmer seg bakken.

Oppgave 3

Forskere har undersøkt vekstutviklingen til trær i et bestemt skogområde. Det viser seg at høyden til et tre, h(t), målt i meter, tilnærmet kan beskrives med en matematisk modell. De første åtte årene gjelder funksjonen

der t er antall år etter utplanting.

a) Tegn grafen til h.

 

b) Hva er den gjennomsnittlige veksthastigheten fra år 1 til år 4?

 

Finner grafisk at treet vokser (2,0 – 1,1 = 0,9) meter fra år 1 til år 4.

Den gjennomsnittlige veksthastigheten per år blir

Den gjennomsnittlige veksthastigheten til treet fra år 1 til år 4 er 30 centimeter.

c) Hva er den gjennomsnittlige veksthastigheten fra år 3 til år 4?

I oppgave b) fant vi løsningen grafisk. I denne oppgaven viser vi hvordan vi kan finne løsningen ved regning.

Gjennomsnittlig vekstfart fra år 3 til år 4 blir

Den gjennomsnittlige veksthastigheten til treet fra år 3 til år 4 er 14 centimeter.

d) Forklar hvorfor du får ulike svar.

Veksten til treet er ikke den samme i hele perioden fra år 1 til år 4. Veksten til treet er større i starten enn mellom år 3 og år 4.

Oppgave 4

En ball sparkes rett opp i lufta. Grafen nedenfor viser hvor høyt ballen er over bakken etter x sekund. Tegn denne grafen, for eksempel i GeoGebra, ved å skrive inn funksjonsuttrykket

a) Finn momentan vekstfart etter 1 sekund.

Tegner tangenten til grafen for x = 1.

I GeoGebra kan du bruke tangentverktøyet. Merk av punktet på grafen der tangenten skal vises. Velg så verktøyet ”Tangenter”, se bildet nedenfor.

 

Tangenten blir nå tegnet. På figuren nedenfor har vi også tegnet inn stigningen til tangenten.

 

Stigningstallet til denne tangenten er den momentane vekstfarten ved x = 1 sekund.

Den momentane vekstfarten er 12 ved 1 sekund.

b) Finn momentan vekstfart etter 3 sekund.

 

Stigningstallet til denne tangenten er den momentane vekstfarten ved x = 3 sekund.

Den momentane vekstfarten er −4 ved 3 sekund.

c) Finn momentan vekstfart etter 4 sekund.

 

Stigningstallet til denne tangenten er den momentane vekstfarten ved x = 4 sekund.
Den momentane vekstfarten er −12 ved 4 sekund.

d) Finn momentan vekstfart etter 2,5 sekund.

 

Stigningstallet til denne tangenten er den momentane vekstfarten ved x = 2,5 sekund.
Den momentane vekstfarten er 0 ved 2,5 sekund.