Fagstoff

Ulikheter

Publisert: 15.06.2010, Oppdatert: 03.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

En ulikhet består av et ulikhetssymbol med et tall eller uttrykk på hver side av symbolet. Et eksempel er ulikheten

3<8Husk at krokodillen er sulten og alltid vil gape over det største tallet eller uttrykket!Husk at krokodillen er sulten og alltid vil gape over det største tallet eller uttrykket!    

Ulikheten leses som «3 er mindre enn 8».

Vi har fire ulikhetssymboler, < som betyr «mindre enn», > som betyr «større enn»,  som betyr «mindre enn eller lik» og  som betyr «større enn eller lik».

Merk at «gapet» alltid peker mot det største tallet.

På barneskolen lærte du kanskje å tenke på < som gapet til en krokodille. Krokodillen er sulten og vil alltid gape over det største tallet eller uttrykket!

En ulikhet inneholder gjerne en eller flere ukjente størrelser symbolisert med bokstaver. Det er vanlig å bruke bokstaven x for den ukjente når ulikheten har én ukjent størrelse.

Et eksempel er ulikheten

 x+38

Å løse en ulikhet går ut på å finne hvilke verdier x kan ha for at ulikheten skal være sann. For eksempel, hvilke verdier av x i ulikheten ovenfor gjør at x+3 blir lik eller større enn 8?

Metode for å løse ulikheter

Langt på vei kan vi løse ulikheter etter de samme prinsipper vi brukte for å løse likninger.

• Hvis vi adderer det samme tallet på begge sider av ulikhetstegnet, beholder vi den samme ulikheten mellom venstresiden og høyresiden.
Siden 5<9,  er 5+3<9+3.

• Hvis vi subtraherer det samme tallet på begge sider av ulikhetstegnet, beholder vi den samme ulikheten mellom venstresiden og høyresiden.
Siden 9>5,  er 9-3>5-3.

• Hvis vi multipliserer med det samme positive tallet på begge sider av ulikhetstegnet, beholder vi den samme ulikheten mellom venstresiden og høyresiden.
Siden 9>5,  er 9·3>5·3.

• Hvis vi dividerer med det samme positive tallet på begge sider av ulikhetstegnet, beholder vi den samme ulikheten mellom venstresiden og høyresiden.
Siden 9>6,  er 93>63.

Vi kan altså addere, subtrahere, multiplisere og dividere med samme positive tallet på begge sider i en ulikhet og fortsatt beholde den samme ulikheten mellom venstresiden og høyresiden.

Hva så hvis vi multipliserer eller dividerer med et negativt tall på begge sider i en ulikhet?

Vi ser på en tallinje.

Tallinje Hvis vi velger to ulike tall, vet vi at det tallet som ligger lengst til høyre, er det største. Tallet 4 ligger til høyre for tallet 2 og er dermed større enn 2.

4>2

Vi multipliserer så begge tallene (begge sidene i ulikheten) med det negative tallet −1. Vi får at 4·-1=-4 og 2·-1=-2. Men −4 ligger til venstre for −2 på tallinjen og er da minst. Det betyr at

-4<-2

Vi har altså måttet snu ulikhetstegnet for at ulikheten fortsatt skal være sann.

På samme måte kan du ta utgangspunkt i to hvilke som helst ulike tall og multiplisere dem eller dividere dem med samme negative tallet. Du vil se at du alltid må snu ulikhetstegnet for at ulikheten fortsatt skal være sann.

Dette betyr at de regler vi hadde for å løse likninger også kan brukes for å løse ulikheter med den forskjell at vi må snu ulikhetstegnet når vi multipliserer eller dividerer med et negativt tall.

Vi kan addere og subtrahere med samme tall på begge sider i en ulikhet og fortsatt beholde den samme ulikheten mellom venstresiden og høyresiden.

 

Vi kan multiplisere og dividere med samme positive tall på begge sider i en ulikhet og fortsatt beholde den samme ulikheten mellom venstresiden og høyresiden.

 

Vi må snu ulikhetstegnet hvis vi dividerer eller multipliserer med et negativt tall på begge sider av ulikhetstegnet.

Eksempel

Vi løser ulikheten

 2x+3<4x+9                  Vi substraherer 4x og 3  begge sider.2x-4x<9-3                  Vi trekker sammen like ledd.    -2x<6                  Vi dividerer med -2  begge sider                  og snur ulikhetstegnet.        x>-3

For alle verdier av x større enn −3 er ulikheten sann.

Ved CAS i GeoGebra bruker vi «likningsknappen»

Løse ulikhet i GeoGebra. Bilde.  

Oppgaver