Fagstoff

Andregradslikninger

Publisert: 11.06.2010, Oppdatert: 03.03.2017

 

En likning som kan skrives på formen ax2+bx+c=0 der a0, kalles en andregradslikning.

Et eksempel på en andregradslikning er x2+4x-5=0. x2 kalles andregradsleddet og a=1. 4x kalles førstegradsleddet og b=4. -5 kalles konstantleddet og c=-5.

Noen ganger må andregradslikningen ordnes for å se hva tallene a, b og c er.

Andregradslikningen

3-x=-7x22

kan ordnes til likningen

       6-2x=-7x27x2 -2x+6=0

og her ser vi at a=7, b=-2 og c=6.

En andregradslikning inneholder alltid andregradsleddet, men førstegradsleddet og konstantleddet kan mangle, det vil si at b og/eller c kan være lik 0.

Når konstantleddet mangler

Når konstantleddet mangler, kan vi samle de to gjenstående leddene på venstre side av likhetstegnet og faktorisere. Faktoren x forekommer nemlig i begge ledd.Vi benytter oss av at når et produkt er lik null, må minst en av faktorene være lik null. 

Når et produkt er lik null, må minst en av faktorene være lik null.

Eksempel

 x2-2x=0xx-2=0x=0 eller x-2=0x=0 eller x=2

Når førstegradsleddet mangler

Vi ordner likningen slik at x2 på venstre side av likhetstegnet, så trekker vi ut kvadratroten.

Eksempel

 -2x2+18=0     -2x2=-18         x2=9         x=9         x=9 eller x=-9         x=3    eller x=-3

Hvis høyresiden blir null etter at likningen er ordnet, så fås bare én løsning, nemlig x = 0. Hvis høyresiden blir negativ etter at likningen er ordnet, så har likningen ikke noen løsninger.

 

Fullstendige kvadrater 

Noen andregradslikninger kan ordnes slik at venstresiden i likningen blir såkalte fullstendige kvadrater.

Husk at et fullstendig kvadrat er et andregradsuttrykk som vi kan faktorisere ved hjelp av første eller andre kvadratsetning.

La oss først se på likningen x-32=4. Denne likningen må kunne løses etter tilsvarende prinsipp som likninger uten førstegradsleddet:

 

x-32=4   x-3=2 eller x-3=-2    x=5 eller x=1

I likningen x2-6x+9=4 er venstresiden et fullstendig kvadrat. Etter andre kvadratsetning er venstresiden lik x-32og likningen har da løsning som vist ovenfor.

Dette betyr at hvis vi omformer en andregradslikning slik at det til venstre for likhetstegnet står et fullstendig kvadrat, så kan vi løse likningen.

Første og andre kvadratsetning

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

(a-b)2 = a2 - 2ab + b2

Husker du hvordan vi laget fullstendige kvadrater da vi faktoriserte andregradsuttrykk? Vi bruker samme metode nå, med en liten forskjell. Vi trenger ikke subtrahere uttrykket vi adderer. Siden vi har likninger, kan vi addere det samme uttrykket på begge sider av likhetstegnet. 

Eksempel 1

 x2+2x-15=0           a=xx2-2x+b2=15+b2      ha 2ab=2x2xb=2xb=1x2+2x+12=15+1   x+12=42       x+1=4   eller   x+1=-4           x=3   eller   x=-5

 

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

(a-b)2 = a2 - 2ab + b2

Eksempel 2

 -42-8x=-2x2   2x2-8x=42          Dividerer alle ledd med 2     x2-4x=21         a=xx2 -4x+b2=21+b2    ha 2ab=4x2xb=4xb=2x2-4x+22=21+4   x-22=25       x-2=5     eller    x-2=-5           x=7     eller         x=-3

Oppgaver