Fagstoff

Faktorisering av andregradsuttrykk ved hjelp av nullpunktmetoden

Publisert: 11.06.2010, Oppdatert: 03.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

Vi kan også faktorisere andregradsyttrykk ved en metode som kalles nullpunktmetoden. Vi illustrerer metoden gjennom to eksempler.

Eksempel

Vi ser på andregradsuttrykket x2-2x-8.

Vi starter med å finne nullpunktene.

Vi løser da likningen x2-2x-8=0

x2-2x-8=0           x=--2±-22-4·1·-82·1           x=2±4+322           x=2±62           x1=2-62=-2           x2=2+62=4

Uttrykket x2-2x-8 er altså lik null når x=-2 og når x=4.
Ser du at uttrykket x--2x-4=x+2x-4 også er lik null når x=-2 og når x=4?

Vi multipliserer og ser at

x+2x-4=x2-4x+2x-8=x2-2x-8

 Vi har da at

x2-2x-8=x+2x-4

Andregradsuttrykket er faktorisert!

Er dette en metode vi kan bruke for å faktorisere alle andregradsuttrykk?

 

Vi prøver med et nytt eksempel!

Eksempel

Vi ser på uttrykket 2x2-x-3.

Vi starter igjen med å finne nullpunktene, og løser likningen 2x2-x-3=0.

2x2-x-3=0           x=--1±-12-4·2·-32·2           x=1±254           x1=1-54=-1           x2=1+54=64=32

Uttrykket 2x2-x-3 er altså lik null når x=-1 og når x=32.

Vi prøver samme metode som i forrige eksempel og ser at uttrykket x+1x-32 også er lik null når x=-1 og når x=32.

Vi multipliserer og får

x+1x-32=x2-32x+x-32=x2-12x-32

Dette er ikke det samme andregradsuttrykket som vi startet med.

 Vi startet med

2x2-x-3

Når vi multipliserer ut parentesene, får vi

x2-12x-32

Ser du at vi kan multiplisere det siste uttrykket med 2, og få det andregradsuttrykket vi startet med?

Utvide uttrykket

x2-12x-32·2=2·x2-2·12x-2·32=2x2-x-3

Vi har da at

2x2-x-3=2x+1x-32

Andregradsuttrykket er faktorisert!

Hvis vi ønsker et uttrykk uten brøk, kan vi multiplisere 2-tallet inn i den siste parentesen

2x2-x-3=2x+1x-32=x+12x-3

Vi ser fort at vi må multiplisere med 2, fordi det siste uttrykket inneholder leddet x2, mens det polynomet vi startet med, inneholder leddet 2x2.

Den metoden vi har brukt for å faktorisere i de to eksemplene ovenfor, kalles nullpunktmetoden. Du skjønner kanskje hvorfor?

Nullpunktmetoden

ax2+bx+c=ax-x1x-x2

 

der x1 og x2 er løsningene av den generelle andregradslikningen ax2+bx+c=0.

Ikke glem at a må være med i det faktoriserte uttrykket!

Når det bare finnes én løsning av andregradslikningen, er x1 = x2.
Når andregradslikningen ikke har løsninger, kan ikke uttrykket faktoriseres.

Ved CAS i GeoGebra får vi Faktorisere andregradsuttrykk i GeoGebra. Bilde.