Fagstoff

Likninger

Publisert: 08.06.2010, Oppdatert: 03.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

En likning består av et likhetstegn med et tall eller uttrykk på hver side. Et eksempel er likningen

3+5=8

En likning inneholder gjerne en eller flere ukjente størrelser symbolisert med bokstaver som for eksempel formelen

A=g·h

Det er vanlig å bruke bokstaven x for den ukjente når likningen har én ukjent størrelse. Et eksempel er

x+5=8

Å løse en likning går ut på å finne ut hvilke verdier x kan ha for at likningen skal være sann. For eksempel, hvilken verdi av x i likningen ovenfor gjør uttrykket x + 5 lik tallet 8. 

Kjenner du igjen oppgaven nedenfor fra barneskolen?

 

Hvilket tall skal stå i den tomme ruten?

 

? + 5 = 8

 

Metode for å løse likninger ved regning

Balansert vektstang med pære og eple. Foto.  I likningen x+5=8 ser vi umiddelbart at når x er lik tallet 3, er venstresiden og høyresiden like. Likningen har løsningen x=3.  

I likningen 2x-3=9 er det derimot ikke så enkelt å løse likningen direkte. Vi trenger en framgangsmåte.

Tenk deg at du har to like tall. Er du enig i de fire påstandene nedenfor?

• Hvis vi til to tall som er like, adderer det samme tallet, vil summene være to like tall. Siden 9=9, så er 9+3=9+3 .

• Hvis vi til to tall som er like, subtraherer det samme tallet, vil differensene være to like tall. Siden 9=9, så er 9-5=9-5.

• Hvis vi har to tall som er like og multipliserer dem med det samme tallet, vil produktene være to like tall. Siden 9=9 , så er 9·3=9·3.

• Hvis vi har to tall som er like og dividerer dem med det samme tallet, vil kvotientene være to like tall. Siden 9=9 , så er 93=93.

Vi kan altså addere, subtrahere, multiplisere og dividere med samme tall på begge sider i en likning og fortsatt beholde likhet mellom venstresiden og høyresiden.

Dette kan vi bruke til å løse likninger.

Eksempel

Vi vil løse likningen 2x-3=9.

2x-3+3=9+3     Vi adderer tallet 3 på begge sider av likhetstegnet
2x=9+3                   På venstresiden er -3+3=0.
2x=12                       Like ledd trekkes sammen, 9+3=12.
2x2=1262                   Vi dividerer med 2 på begge sider av likhetstegnet og forkorter.
x=6                            Vi har løst likningen.

Legg merke til resultatet av å addere 3 på begge sider.

Tallet -3 er «flyttet» fra venstresiden til høyresiden, men har skiftet fortegn til +3.

Eksempel

Når vi skal løse likninger som inneholder brøker, må vi multiplisere hvert ledd med fellesnevneren for å få en likning uten brøker.

                 2x-4=-32-12x               Fellesnevner er 2x.

2x·2x-4·2x=-32·2x-12x·2x Vi multipliserer alle ledd med 2x og forkorter.

                 4-8x=-3x-1                  Vi er kvitt brøkene

4-8x-4+3x=-3x-1-4+3x   Nå ønsker vi å samle alle ledd med x på venstresiden. De andre leddene samler vi på høyre side. Dette gjør vi ved å subtrahere 4 og addere 3x på begge sider.

          -8x+3x=-1-4                     Legg merke til at 4 fra venstresiden nå er -4 på høyresiden og at -3x fra høyresiden nå er +3x på venstresiden. Vi har nå samlet alle leddene med x på venstre side av likhetstegnet. De andre leddene er samlet på høyre side.

                 -5x=-5         Vi trekker sammen like ledd og dividerer med -5 på begge sider.

               -5x-5=-5-5

                      x=1                                   Vi har løst likningen.

 

Vi kan også løse likninger ved CAS i GeoGebra.
For eksakte løsninger klikker vi på knappen Kommandoknapp for eksakt løsning i Geogebra. Bilde. For tilnærmede løsninger klikker vi på Kommandoknapp for tilnærmet løsning i GeoGebra. Bilde.

Løse likninger i GeoGebra. Bilde.  

Eksempel

Når likningene inneholder parentesuttrykk, begynner vi med å løse opp parentesene.

x-2x-3=-2  x-2x+6=-2      x-2x=-2-6        -x-1=-8-1            x=8

Fra linje 2 til linje 3 er tallet 6 subtrahert på begge sider. Legg også merke til divisjonen med −1.

Oppsummering

Fremgangsmåten for å løse likninger blir da

  1. Hvis likningen inneholder parenteser, må vi først løse opp disse.
  2. Hvis likningen inneholder brøker, må vi multiplisere alle ledd med fellesnevneren.
  3. Vi adderer og/eller subtraherer med samme tall på begge sider av likhetstegnet. Resultatet blir at ledd «flyttes» fra den ene siden av likhetstegnet til den andre siden, og leddet skifter fortegn. Formålet er å samle alle ledd som inneholder x på den ene siden av likhetstegnet, og alle ledd som bare består av tall på den andre siden.
  4. Vi trekker sammen leddene.
  5. Til slutt dividerer vi med tallet foran x på begge sider.

Du kan bruke CAS-verktøyet i GeoGebra for å løse en likning.

• Skriv inn likningen i felt 1. GeoGebra likning  

• Trykk knappen «Bruk inntasting» (markert med gul farge) for å kontrollere at du har tastet inn riktig.

• Trykk likhetstegn på tastaturet for å få likningen vist i felt 2.

• Trykk knappen «Løs» (markert med blå penn) for å få løsningen på likningen.

 

 

 

 

Oppgaver