Fagstoff

Fart

Publisert: 21.01.2010
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Når vi tilbakelegger 100 km i løpet av 2 timer – uavhengig av om vi stopper underveis – har vi en gjennomsnittsfart på 50 km/h. Vi ville ha brukt like lang tid dersom vi hadde kjørt med konstant fart på 50 km/h.

Gjennomsnittsfarten (For gjennomsnitt og middelverdier brukes en rett strek som symbolet.) kan vi uttrykke med følgende formel:

$$ \mathrm{gjennomsnittsfart} = \frac{\mathrm{forflytning}}{\mathrm{tidsenhet}} \qquad \overline{v} = \frac{\Delta s}{\Delta t}$$

Man bruker den greske bokstaven $\Delta$ (delta) for å uttrykke små, korte intervaller eller forskjeller. I eksemplet har vi brukt måleenheten km/h for farten. SI-enheten for fart = m/s.

$$1 \mathrm{ km/h} = 1000 \mathrm{ m/}3600 \mathrm{ s} = 0,2778 \mathrm{ m/s}$$

 

 

Eksempel: Gjennomsnittsfart

Hvilken banefart har en geostasjonær satellitt?

Svar: Satellittbevegelser er ikke rettlinjet. Men vi vil her bare vite farten. Vi behandler både forflytningen og dermed også farten som skalarer. En geostasjonær satellitt kretser i ca. 36000 km høyde over et fast punkt på ekvatoren. Vi regner med en omløpstid T = 24 h og jordas radius Rj = 6370 km.

 

$$\begin{array}  \overline{v} & = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{2\pi \cdot (R_j + h)}{T}\\ & = \frac{2\pi \cdot (6,37\cdot 10^6 \mathrm{ m} + 3,6\cdot 10^7\mathrm{ m} )}{24 \cdot 60 \cdot 60 \mathrm{ s}} = 3,1 \cdot 10^3 \mathrm{m/s} \end{array}$$

 

Gjennomsnittsfarten til en geostasjonær satellitt er 3,1 km/s. (Størrelsen med minst antall gjeldende sifre i beregningen bestemmer antall sifre vi angir sluttsvaret med. Høyden til  satellitten er gitt med to gjeldende sifre. Derfor angir vi sluttsvaret med to gjeldende sifre.)

 

Momentanfart

Når vi har en gjennomsnittsfart på 50 km/h kan vi godt ha kjørt 100 km/h enkelte steder. Ved fartskontroller måler politiet om vi holder oss til fartsgrensen på et bestemt sted. Politiet vil vite farten i det øyeblikket bilen passerer målepunktet. For å få farten så nøyaktig sommulig, må vi gjøre veistrekningen Δs kortere og kortere. Dette gjøres normalt ved å la tiden, Δt, gå mot null. Farten i det øyeblikket bilen passerer målepunktet kalles momentanfart. I dagligtale bruker vi bare ordet fart, men det er viktig å vite om vi er interessert i gjennomsnittsfart eller farten i et bestemt øyeblikk. Speedometeret på en sykkel eller i en bil måler momentanfarten. Vi kan beregne momentanfarten v, når tidsintervallet Δt er meget kort. Matematisk uttrykker vi det ved å la grenseverdien (lim) Δt gå mot 0:

$$ v = \frac{\Delta s}{\Delta t} \mathrm{ når } \Delta t \rightarrow 0 \quad \mathrm{eller} \quad v(t) =\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}$$

 

I laboratoriet bestemmer vi momentanfarten – dvs. gjennomsnittsfarten for en liten strekning. Meget korte avstander kan vi f.eks. måle med et skyvelær eller en mikrometerskrue. Med hjelp av f.eks. fotoceller som starter og stopper en elektronisk klokke kan vi måle veldig korte tidsintervaller.

Om momentanfarten ikke varierer langs veien, flytter legemet seg med konstant fart. Vi beregner veilengden s til et legeme med konstant fart:

s = v ·t

 

Eksempel: Skøyteløper

Hvor stor gjennomsnittsfart har en skøyteløper som går 1500 m på 1 min og 55 s? Oppgi svaret i både m/s og km/h.

 

$$ v = \frac{s}{t}=\frac{1500\mathrm{ m}}{115 \mathrm{ s}} = 13 \mathrm{ m/s}$$

$$13 \mathrm{ m/s} = \frac{13\cdot 3600}{1000} \mathrm{ km/h}= 46,8 \mathrm{ km/h}$$

 


Grafisk framstilling av fart og forflytning

s-t-diagrammet viser forflytningen som funksjon av tiden. Stigningen til grafen mellom to punkter gir gjennomsnittsfarten for strekningsintervallet.
a) s-t-diagrammet viser forflytningen som funksjon av tiden. Stigningen til grafen mellom to punkter gir gjennomsnittsfarten for strekningsintervallet. NAROM

s-t-diagrammet viser grafisk definisjon av momentanfart.
b) s-t-diagrammet viser grafisk definisjon av momentanfart. Når tidsintervallet går mot null er momentanfarten gitt ved stigningen til tangenten i målepunktet.
Når $\Delta t \rightarrow 0$ er $v = \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t} = s^\prime (t)$.
NAROM
Integral over v-t-diagram
d) $v$-$t$-diagram for bevegelse med varierende fart. Arealet mellom grafen og førsteaksen tilsvarer den tilbakelagte strekningen: $\displaystyle{s= \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n v_i \cdot \Delta t}$. Vi kan beregne arealet som sum av rektangelarealer når $\Delta t \rightarrow 0$. Dette kan vi også skrive som et integral.
NAROM























Et diagram som viser forflytning som funksjon av tid kalles et s-t-diagram eller veigraf. I et slikt diagram framkommer farten som stigningen til grafen. Dette gjelder både for konstant fart, gjennomsnittsfart og momentanfart. I figur a) ser vi at gjennomsnittsfarten er gitt ved stigningen til den rette linjen mellom startpunkt A og sluttpunkt D:

$$ v(t) =\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}=\frac{100 \mathrm{ km}}{2 \mathrm{ h}} = 50 \mathrm{ km/h}$$

På samme måte regner vi ut farten på de forskjellige etappene. Mellom A og B er farten konstant 60 km/h, mellom B og C er farten 0, mens farten mellom C og D er farten konstant 80 km/h. En bevegelse med konstant fart på 50 km/h gir den samme rette linjen mellom A og D som gjennomsnittsfarten.

Også figur b) viser et s-t-diagram, dvs. en framstilling av forflytning som funksjon av tiden. Men i dette eksemplet endrer farten seg kontinuerlig. Stigningen til linjen mellom punkt 1 og 2 er lik gjennomsnittsfarten i tidsrommet Δt. Om vi nå lar Δt → 0, vil punktet 2 stadig komme nærmere punkt 1. Linjen mellom 1 og 2 blir da en tangent i punktet 1. Derfor er farten ved et vilkårlig tidspunkt t1 gitt ved tangenten i punktet (t1, s1) på kurven i figur b).

Definisjon av momentanfart:

Når tidsintervallet går mot null er momentanfarten gitt ved stigningen til tangenten i målepunktet.

 

v-t-diagramv-t-diagram
Opphavsmann: Narom

 

Et diagram som viser farten som funksjon av tiden kalles et v-t-diagram eller en fartsgraf. Figur c) illustrerer at forflytningen er gitt som arealet mellom grafen og førsteaksen. Fra figuren ser vi at arealet mellom grafen og førsteaksen kan beregnes som v · Δt. Dette er lik den tilbakelagte strekningen Δs. Vi beregner  strekningen av gjennomsnittsfarten ganget med tiden:

$$\Delta s = \overline{v} \cdot \Delta t \quad \Rightarrow \quad \Delta s = 50 \mathrm{ km/h} \cdot 2 \mathrm{ h} = 100 \mathrm{km}$$

Eller vi kan beregne summen av arealene i avsnittene med ulik fart.

$$\Delta s = v_{AB} \cdot \Delta t_{AB} + v_{BC} \cdot \Delta t_{BC}  + v_{CD} \cdot \Delta t_{CD}$$
$$ \Rightarrow \quad 60 \mathrm{ km/h} \cdot 1 \mathrm{ h} + 0 \cdot \frac{1}{2} \mathrm{ h} + 80 \mathrm{ km/h} \cdot \frac{1}{2} \mathrm{ h} = 100 \mathrm{ km}.$$

 

Også for kontinuerlig, varierende fart kan vi beregne den tilbakelagte strekningen som arealet mellom v-t-grafen og første aksen som illustrert i figur d). Dette gjelder både for konstant fart og for varierende fart. Som tilnærming kan vi beregne arealet under grafen som sum av rektangelarealer. I hvert tidsintervall anser vi farten som konstant. For store tidsintervaller er dette kun en grov tilnærming. Jo mindre tidsintervaller vi velger, desto bedre blir tilnærmingen. Den tilbakelagte veien i hvert tidsintervall er gitt ved arealet og kan uttrykkes som

$$\Delta s_1 = v_1 \cdot \Delta t_1,\quad \Delta s_2 = v_2 \cdot \Delta t_2,\quad .\,.\,.\, ,\quad \Delta s_n = \Delta v_n \cdot t_n$$

Den totale tilbakelagte veien s er summen av enkeltintervallene Δs.

$$ s = \Delta s_1 + \Delta s_2 + \cdots + \Delta s_n$$

 

Først når vi lar tidsintervallene går mot null får vi et nøyaktig resultat:

$$ s= \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n v_i \cdot \Delta t$$

 

Denne summen kan vi også skrive som et integral:

$$ s = \int_{t_1}^{t_2} v \, \mathrm{d} t$$

 

Relatert innhold

Generelt