Eksempel 3. Drøfting av polynomfunksjoner

Finn ved regning når funksjonen vokser, og når den avtar. Finn også eventuelle topp- og bunnpunkter.

Løsning
Vi deriverer f(x)

 
Setter så

Vi får bare en løsning. De to løsningene er sammenfallende.

Stikkprøver gir:

Vi kan da sette opp fortegnslinjen til

Denne fortegnslinjen er spesiell siden den deriverte ikke skifter fortegn i nullpunktet. Den deriverte er positiv for alle x-verdier forskjellig fra 2. Det betyr at funksjonen vokser overalt bortsett fra når x er lik 2. Grafen har verken topp- eller bunnpunkt for x = 2.

Men siden den deriverte er lik null, er tangenten til grafen horisontal for x = 2. Slike punkter på grafer har fått egne navn. Et slikt punkt på grafen kalles for et terrassepunkt.

Stasjonære punkter
Et stasjonært punkt på en graf karakteriseres ved at den deriverte er null i punktet. I slike punkter er det ingen endring i veksten til funksjonen. Hvis den deriverte skifter fortegn, så er det stasjonære punktet et topp- eller bunnpunkt. Hvis den deriverte ikke skifter fortegn, så er det stasjonære punktet et terrassepunkt.

Ekstremalpunkter
Toppunkter og bunnpunkter tihører også en gruppe punkter som kalles for ekstremalpunkter, det vil si punkter som har maksimal- eller minimalverdier. Andrekoordinaten til et toppunkt er en maksimalverdi til funksjonen og andrekoordinaten til et bunnpunkt er en minimalverdi. Noen funksjoner kan ha både topp- og bunnpunkter. Derfor er maksimal- og minimalverdiene ofte bare lokale maksimal- og minimalverdier. Det vil si at de er maksimal- og minimalverdier i et intervall omkring ekstremalpunktet.