Eksempel 2. Drøfting av polynomfunksjoner

Gitt funksjonen
• Drøft monotoniegenskapene til f.

• Finn eventuelle topp- og bunnpunkter.

Løsning
Vi deriverer f(x)

Setter så

Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige tall i hvert av de aktuelle intervallene og ser om uttrykket er positivt eller negativt.

Vi kan da sette opp fortegnslinjen til

Vi ser av fortegnslinjen at

• grafen stiger når x < -1 og når x > 2

• grafen synker når -1 < x > 2


f(x) har altså et toppunkt når x = − 1 og et bunnpunkt når x = 2.

Toppunktet er .

Bunnpunktet er .

Til slutt kan det være lurt å tegne grafen for å sjekke om det vi har funnet ut ved regning, er riktig. Vi kan også sammenholde bildet av grafen med fortegnslinjen for den deriverte og se sammenhengen.

Utregningene ovenfor kan også gjøres digitalt i for eksempel Mathcad.

Vi starter med å definere funksjonen:

Finner deretter uttrykket for den deriverte:

Finner når den deriverte er lik 0:

Definerer den deriverte funksjonen som en egen funksjon, g(x):

Stikkprøver viser fortegnet til den deriverte funksjonen:

Finner funksjonsverdiene til topp- og bunnpunktet: