Fagstoff

Sannsynlighet i uniforme modeller. Addisjon av sannsynligheter

Publisert: 17.06.2010, Oppdatert: 03.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

Hendelse

En hendelse i en sannsynlighetsmodell består av ett eller flere utfall.

Vi ser på det tilfeldige forsøket «kast av én terning» Terning  

Antall øyne123456
Sannsynlighet161616161616

 

Et eksempel på en hendelse er å få et partall antall øyne. Vi kaller dette for hendelsen A.

A: Å få et partall antall øyne ved kast av én terning

Addisjonssetningen for én hendelse

Hendelsen A inntreffer når vi får ett av utfallene 2, 4 eller 6. Den relative frekvensen for hendelsen A må da være summen av de relative frekvensene for utfallene 2, 4 og 6. Det betyr igjen at sannsynligheten for hendelsen A er summen av sannsynlighetene for utfallene 2, 4 og 6.

Vi har

PA=P2+P4+P6=16+16+16=36=12

 

 

Sannsynligheten for en hendelse finner vi ved å summere sannsynlighetene for de utfallene som inngår i hendelsen.

 


Kast av to tikroner

Da du gjorde forsøket med å kaste 2 pengestykker, registrerte du sikkert at utfallene KK og MM fikk tilnærmet samme relative frekvens. Hvis du hadde registrert MK og KM hver for seg, ville du oppdaget at også disse utfallene hadde tilnærmet den samme relative frekvens.

Diverse hendelser ved myntkast. Illustrasjon.   

Når vi kaster to tikroner, har vi altså 4 mulige utfall. Alle utfallene har lik sannsynlighet.

En hendelse kan her være å få en kron og en mynt, uansett rekkefølge. Vi kaller dette for hendelsen B .

B: Å få én kron og én mynt, uansett rekkefølge.

Sannsynligheten for B blir

PB=PMK+PKM=14+14=24=12

Vi legger altså sammen sannsynlighetene for hvert enkelt utfall som hendelsen omfatter.

Sannsynlighetsmodellen for kast av to pengestykker blir

UtfallTo kronÉn mynt og én kronTo mynt
 Sannsynlighet0,25
 0,50 0,25

 

Sannsynligheten for hendelsen «ikke A»

Vi vet at samlet sannsynlighet for alle utfallene i et terningkast er lik 1. Det betyr at ved kast av en terning er

PÅ  et partall antall øyne+PÅ ikke  et partall antall øyne=1

Det betyr at

PÅ ikke  et partall antall øyne=1-PÅ  et partall antall øyne

Vi ga ovenfor hendelsen «Å få et partall antall øyne ved kast av en terning» navnet A.

Det gir

Pikke A=1-PA

Vi innfører en egen skrivemåte for «ikke », A¯.

Det gir

PA¯=1-PA

Denne regelen gjelder for alle hendelser.

 

For alle hendelser gjelder at

 

PA¯=1-PA

 

Hvor A¯ betyr «ikke A».

 

Sannsynlighet i uniforme modeller. Gunstige og mulige utfall

Vi ser på det tilfeldige forsøket «kast av én terning» Terning  

Antall øyne123456
Sannsynlighet161616161616

 

Vi så ovenfor på hendelsen

A: Å få et partall antall øyne

Vi har

PA=P2+P4+P6=16+16+16=36=12

Alle utfallene som hendelsen omfatter, kaller vi gunstige utfall for hendelsen. For kast med én terning er 2, 4 og 6 de tre gunstige utfallene for hendelsen A.

Vi lar g betegne antall gunstige utfall for hendelsen A, og m betegne antall mulige utfall.

Dersom vi dividerer antall gunstige utfall med alle mulige utfall, får vi gm=36=12. Det er det samme som vi fikk da vi beregnet sannsynligheten for A ovenfor.

Vi kan sette opp følgende regel for sannsynligheter for hendelser i uniforme modeller

 

I en uniform sannsynlighetsmodell er alle utfall like sannsynlige. Sannsynligheten for en hendelse A er gitt ved

 

PA=gm=antall gunstige utfall for Aantall mulige utfall

 

Addisjonssetningen for flere hendelser

Lærer underviser elever i Venndiagram i Uganda. Foto.Venndiagram brukes over hele verden. Her fra en skoleklasse i Uganda.Vi fortsetter med forsøket «kast av 1 terning»

Vi definerer hendelsene

A: Å få et partall antall øyneTerning  

B: Å få fem eller flere øyne

Valgtre terningkast Vi kan illustrere med et såkalt Venndiagram.

Hendelsen A har tre gunstige av 6 mulige utfall.

PA=36=12

Hendelsen B har to gunstige av 6 mulige utfall.

PB=26=13

Vi definerer to nye hendelser

AB består av de utfall som er med i enten A eller B eller i både A og B
AB leser vi som «A union B»

AB består av alle utfall som er med i både A og B
AB leser vi som «A snitt B»

For hendelsen AB må terningen vise et partall antall øyne eller fem eller flere øyne eller begge deler. Vi får da fire gunstige utfall, en toer, en firer, en femmer og en sekser. Se Venndiagrammet. Det betyr at

PAB=46=23

For hendelsen AB må terningen vise et partall antall øyne og samtidig fem eller flere øyne. Vi får da bare ett gunstig utfall, at terningen viser en sekser. Det betyr at

P(AB)=16

Vi ser at også for sammensatte hendelser i en uniform sannsynlighetsmodell kan vi beregne sannsynligheter ved å telle opp antall gunstige og antall mulige utfall.

Vi så at sannsynligheten for én hendelse er lik summen av sannsynlighetene for de utfall som inngår i hendelsen.
Kan vi tilsvarende finne sannsynligheten for flere hendelser ved å summere sannsynligheter for enkelthendelser?

Vi undersøker om PAB er lik P(A) pluss P(B).

Vi så ovenfor at PAB=46og at PA+PB=36+26=56

Vi får 16 for mye når vi adderer sannsynlighetene for enkelthendelsene.

Valgtre terningkast Men vi så også at PAB=16.

Utfallet «å få en sekser» er med i både hendelsen A og i hendelsen B.Sannsynligheten for dette utfallet er derfor tatt med to ganger når vi adderer sannsynlighetene for enkelthendelsene. Vi må derfor trekke fra sannsynligheten for dette utfallet én gang. Da får vi at

PAB=PA+PB-PAB    46 =  36  + 26 - 16

Dette gjelder generelt, også for sannsynlighetsmodeller som ikke er uniforme

 

Den generelle addisjonssetningen for sannsynligheter

 

PAB=PA+PB-PAB

 

AB består av de utfall som er med i enten A eller B eller i både A og B

AB leser vi som «A union B»

 

AB består av alle utfall som er med i både A og B

AB leser vi som «A snitt B»

 

 

Oppgaver

Generelt