Fagstoff

Satellittbevegelse i elliptiske baner

Publisert: 01.09.2010, Oppdatert: 30.01.2015
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut
Diffligning

Den generelle ligningen for satellittbevegelse i et tredimensjonalt tyngdefelt er en 2. ordens differensialligning. I et kulesymmetrisk tyngdefelt kan det vises at satellittbanen blir liggende i et plan, og at formen for satellittbanen blir et kjeglesnitt. Det vil si en sirkel, ellipse, parabel eller hyperbel. Siden vi skal konsentrere oss om satellitter i jordbane, betyr det at banen blir en ellipse, med sirkel som et spesialtilfelle. Satellittbevegelsen blir betydelig forenklet hvis vi kan beskrive den ved hjelp av polarkoordinater i baneplanet. Da blir den en differensialligning med en variabel, en vinkel som kalles sann anomali, som er en funksjon av tid, v(t).

Parametrene for elliptisk bane

Det kan vises at avstanden r fra jordsentrum til satellitten er gitt av

Lukket bane.Lukket satellittbane, ellipse – eller som spesialtilfelle – sirkel. 

 

 

Ellipsebane.Parametre for elliptiske baner. 

 

 

Midlerer og sann anomali.Midlere og sann anomali. 

 

 

Midlere anomali.Midlere anomali. 

\[r = \frac{p}{{1 + \varepsilon \cos \upsilon }}\]

Dette er et generell matematisk uttrykk for et kjeglesnitt. Når parameteren ε = 0, blir radien konstant, og satellitten beveger seg på en sirkel.

Når parameteren ε er mindre enn 1, vil radien alltid være endelig, og det betyr at vi har en lukket kurve. Radien varierer med vinkelen ν, og for 0 < ε < 1 vil banen være en ellipse.

Radien er minst når ν = 0, og følgelig cos ν = 1. Det betyr at referanseretningen for vinkelen er det punkt hvor satellitten er nærmest jorda. Dette punktet kalles perigeum. Et tilsvarende punkt for en planetbane rundt sola er perihelion.

Radien, og dermed avstanden til satellitten, er størst når ν = 180° og cos ν = –1. Dette punktet kalles apogeum, tilsvarende  apohelion for planeter. Linjen mellom perigeum og apogeum er den lange aksen i ellipsen.

Vinkelen ν, som er vinkelen mellom apogeum og satellittposisjonen, målt i retning mot urviseren, kalles sann anomali.

En annen parameter som brukes er midlere anomali. Dette er en parameter som øker lineært fra 0 til 2π i løpet av en omdreining. Midlere anomali er ikke en vinkel, men den kan beskrives som et areal som vokser lineært, som beskrevet i fordypningsstoffet.

Beskrivelse av en ellipse

Størrelsen og formen for den elliptiske banen kan beskrives ved hjelp at to parametre, for eksempel den lange halvaksen a og den korte halvaksen, b. Det er mer vanlig å beskrive ellipsen ved hjelp av den lange halvaksen og eksentrisiteten, avstanden fra sentrum av ellipsen til brennpunktet i forhold til den lange halvaksen. Det skal for ordens skyld nevnes at denne eksentrisitetsparameteren er forskjellig fra parameteren i uttrykket på polarkoordinatform. Den kalles lineær eksentrisitet, og det er den vi skal benytte videre.

Når eksentrisiteten er liten, ligger brennpunktene nær sentrum, og når eksentrisiteten,ε, øker mot 1 rykker brennpunktene ut mot omkretsen på ellipsen, som blir mer og mer flattrykt.

Satellittbevegelse i elliptisk bane

Satellittbevegelsen i en elliptisk bane er bestemt av eksentrisiteten, i henhold til Keplers 2. lov. Når eksentrisiteten er nær 0, vil sann anomali øke lineært med tiden. Ved høyere eksentrisitet vil satellitten bevege seg raskt nær perigeum og langsomt ved apogeum. Derfor øker sann anomali raskt som funksjon at tid ved perigeum og langsomt ved apogeum, som figuren viser. Omløpstiden er bare bestemt av den lange halvaksen, ikke av eksentrisiteten, og dermed møtes alle kurvene etter en halv og en hel omløpstid, periode.