Fagstoff

Sinus og cosinus til vinkler større enn 90°

Publisert: 16.06.2010, Oppdatert: 03.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

Definisjonen av sinus, cosinus og tangens gitt i forrige avsnitt, gjelder bare for vinkler som er mindre enn 90°. Definisjonen forutsetter også at vi har en rettvinklet trekant. Vi har derfor vært begrenset til å regne ut ukjente sider og vinkler i rettvinklede trekanter.

Vi innfører nå en ny definisjon av sinus, cosinus og tangens som også gjelder for vinkler som er større enn 90°. Den nye definisjonen bygger på den definisjonen vi allerede har for vinkler mindre enn 90°.

Generell definisjon av sinus, cosinus og tangens til en vinkel

Vinkel  Vi starter med en vinkel v som er mindre enn 90°. Vi oppretter så motstående katet slik at vi får en rettvinklet trekant med hypotenus lik 1. Vi kaller katetene for a og b.

Vi får

sin v=b1=b og cos v=a1=a
enhetssirkelen  

Vi legger et koordinatsystem med origo i toppunktet til vinkelen slik at vinkelens høyre bein blir liggende langs x-aksen. Vi legger videre en sirkel med radius 1 og sentrum i origo. Vi kaller sirkelen for enhetssirkelen. 

 Vi kaller skjæringspunktet mellom enhetssirkelen og venstre vinkelbein til v for P.  

Punktet P har hoordinatene (a,b).

Vi ser da at cosinus til vinkelen blir lik førstekoordinaten til P, cosv = a og at sinus til vi blir lik andrekoordinaten til P, sinv = b.
Det betyr at P = (cosv,sinv).

Vi ser også at   tan v=ba=sin vcos v når cos v0.

Ettersom avstanden fra origo til P er lik 1, har vi også at kvadratet av sin v pluss kvadratet av cos v er lik 1.
sin v2+cos v2=1

Vi kan nå definere sinus, cosinus og tangens til en generell vinkel v.
enhetssirkelen  
Plasser vinkel v i et koordinatsystem sammen med enhetssirkelen. Se figuren til høyre.

La P være skjæringspunktet mellom vinkelens venstre vinkelbein og enhetssirkelen.

Vi får
cos v =førstekoordinaten til P
sin v =andrekoordinaten til P

Vi får også at
tan v=sin vcos v når cos v0
Vi har nå en definisjon som også gjelder for vinkler som er større enn 90°.
Enhetssirkelen
Trykk her for å se en simulering av enhetssirkelen i GeoGebra.
Oppgaver

Generelt