Fagstoff

Tangens

Publisert: 15.06.2010, Oppdatert: 25.04.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut
formlike trekanter  

Gitt ΔABC og ΔDBE som vist på figuren ovenfor. Trekantene er formlike fordi B er felles i begge trekantene og A=D=90o. Vi har derfor at ACDE=ABDB.

Vi multipliserer med DE og dividerer med AB på begge sider av likhetstegnet.

                            ACDE=ABDB                     AC· DEDE·AB=AB·DEDB·AB                     AC· DEDE·AB=AB·DEDB·ABStor trekant ACAB=DEDB Liten trekant

Forholdet mellom motstående katet til B og hosliggende katet til B er det samme uansett hvilken trekant vi bruker.

Vi kan lage flere trekanter ved å tegne inn parallelle linjer til AC og DE. På grunn av formlikhet vil da alltid forholdet mellom motstående katet og hosliggende katet være det samme. Dette forholdet er altså konstant.


Dette konstante forholdet identifiserer vinkel B entydig, og derfor gir vi dette forholdstallet et navn. Vi kaller det tangensverdien til B.

Tangensrettvinklet trekant

 

I en rettvinklet trekant med en spiss

 

vinkel v er

 

tan v=motstående katethosliggende katet=bc

 

 

Hvordan finne sammenhengen mellom tangensverdien og gradetallet til en vinkel?

  • Bruk papir, blyant og gradskive, eller bruk GeoGebra, og tegn en vinkel v = 15°
  • Opprett en normal på det høyre vinkelbeinet til v slik at v svarer til A i den rettvinklede trekanten ABC
  • Mål og regn ut forholdet BCAB
  • Lag gjerne flere trekanter hvor du varierer plasseringen av punktet B

Får du at dette forholdet er 0,27? Du har i så fall funnet at tan 15° ≈ 0,27.

Hvis du ønsker det, kan du finne tangensverdiene til alle vinkler på denne måten. Men du trenger ikke gjøre det, for andre har gjort det før deg. Sammenhengen mellom en vinkel målt i grader og en vinkel målt med vinkelens tangensverdi, finner du ved hjelp av et digitalt verktøy.

I GeoGebra finner du tangens til 15 grader ved å skrive tan(15°). Du må bruke parenteser og gradetegn.

For å gå motsatt vei og finne vinkelen når du kjenner tangensverdien, må du først gi GeoGebra beskjed om at du vil ha vinkelen i grader.

Velg «Innstillinger» og «Avansert». Under «Diverse» huker du av for «Gi vinkel i grader ut fra inverse trigonometriske funksjoner».

Tangens i Geogebra  Så kan du skrive atan(o.268)

Tangens i GeoGebra  

Det er vanlig at vi tar med 1 desimal i gradverdien for en vinkel og 3 desimaler i tangensverdien.

Hva kan vi så bruke tangens til? Vi skal gi noen eksempler.

Prøv denne simuleringen Trigonometri i trappen 

Eksempel 1

Thales fra Milet (600 f. Kr) fant høyden til Keopspyramiden ved å bruke «skyggematematikk» (formlike trekanter).

pyramide og trekanter 

På figuren ovenfor er pyramiden tegnet som en trekant. AB er skyggen av pyramiden. DE er skyggen av den 2 meter høye stokken DF. BC og EF er parallelle siden solstrålene er parallelle.

Thales fant høyden slik
AC2,0=1902,6AC=73,08·2,0AC146

Pyramiden er ca. 146 meter høy.

Gizapyramidene i EgyptGizapyramidene i Egypt     

Ved å bruke det vi nå har lært om tangens, kan vi finne høyden til pyramiden uten å bruke trekanten DEF. Vi kan med en vinkelmåler, gradskive eller litt mer avansert utstyr måleB = 37,6°.

trekant med mål
Vi kan da sette opp

tan 37,6=AC190       AC=190·tan 37,6o       AC146 m

 

Vi har nå en generell metode for å finne høyden på trær, bygninger osv. ved å måle vinkler og avstander langs bakken.

Eksempel 2

Vi ønsker å beregne avstanden fra badestranden Sjøsanden i Mandal og ut til Hatholmen.

tegning av sjøsanden 

Løsning

Vi lager en linje AB = 100 m i sanden. Linjen står vinkelrett på siktelinjen til Hatholmen fra punktet A. (Hvordan gjør vi det?) Ved hjelp av en vinkelmåler måler vi B = 87°.

Vi kan da sette opp

     tan 87o=x100100·tan 87o=x             x=100·tan 87o             x1900

Der er 1900 m ut til Hatholmen.

Ved hjelp av bedre instrumenter til å måle vinkler kan vi få større nøyaktighet. Sjekk hvilket utslag det gir om vinkelen hadde vært en halv grad større.

Vi har nå en generell metode for å finne avstander ut til ut til øyer, over elver osv. ved å måle vinkler og avstander langs bakken der vi er.

Eksempel 3

bilde av fyrtårn og robåt  

Du sitter i en båt utenfor Lindesnes fyr og lurer på hvor langt det er inn til land. Du vet at toppen av fyrlykten er 40 meter over havflaten. Du tar fram gradskiven og måler vinkelen som vist på tegningen, til 5 grader. Finn ut hvor langt det er inn til land.

Løsning

Vi kan sette opp likningen

    tan 5o=40x  x·tan 5o=40·xxx·tan 5otan 5o=40tan 5o         x460

Det er ca. 460 m inn til land.

Vi har da en generell metode for å finne avstander til steder hvor vi har objekter vi kjenner høyden eller bredden til. Dette kan for eksempel være nyttig i orientering i skog og mark.

Eksempel 4

Metode for å finne ukjente vinkler.

En snekker trenger å vite takvinkelen v. Se figur.

vinkler på hustak 
Vi kan sette opp

 

tan v=3,35,0    v=arctan 3,35,0    v33,4o

Takvinkelen er 33,4°.

 

Oppgaver

Generelt

Relatert innhold