Fagstoff

Pytagoras’ setning

Publisert: 20.05.2010, Oppdatert: 03.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

Pytagoras. Illustrasjon. Pytagoras ' setning handler om rettvinklede trekanter. I slike trekanter er det en spesiell sammenheng mellom lengdene til sidene. Denne sammenhengen var kjent i de tidligste sivilisasjoner, men det er fra matematikeren Pytagoras, som levde i Hellas ca 500 år f. Kr., vi har navnet på setningen.

 

 

Rettvinkla trekant  Tegn en trekant som er rettvinklet og hvor de korteste sidene er 3 og 4 enheter lange. Figuren viser en slik trekant som er tegnet i GeoGebra. Mål den lengste siden. Blir denne 5 enheter lang?

Ta nå alle tre sidelengdene og multipliser dem med seg selv. Du får da kvadratet av sidelengdene.

Kvadratet av sidelengden a er a2=52=25Kvadratet av sidelengden b er b2=32=9Kvadratet av sidelengden c er c2=42=16

 

Sammenlign summen av kvadratene til de to korteste sidene med kvadratet til den lengste siden. Hva ser du?

Vi ser at 25 = 9 + 16. Det er det samme som a2 =b2 + c2.

Det viser seg at denne sammenhengen gjelder for alle trekanter som har en vinkel på 90°.

Rettvinkla trekant med kvadratar  

For å kunne formulere denne sammenhengen med ord, gir vi navn på sidene i rettvinklede trekanter.

Den lengste siden i en rettvinklet trekant kaller vi hypotenus. De to korteste sidene kaller vi kateter.

 

Pytagoras' setning:

hypotenus2 = katet2 + katet2

   a2 = b2 + c2

Rettvinkla trekant

 

Legg merke til navnsettingen. Vi bruker store bokstaver som navn på punkter eller hjørner i trekanten. Små bokstaver brukes som navn og måltall for sidelengdene. Det er vanlig at vi har samme bokstav på hjørne og side som står motsatt hverandre.

Geometrisk bevis for Pytagoras' setning

Oppdelt kvadrat

Lag et kvadrat med sidelengder a + b. Se figuren til høyre. Du kan for eksempel klippe ut av et stivt papir, eller du kan tegne i GeoGebra.

Del sidelengdene i to deler a og b, trekk linjer(klipp ut) som vist på figuren og få på denne måten 4 like rettvinklede trekanter. Hypotenusen i trekantene kaller du c.

Det lyseblå arealet er et kvadrat (hvorfor?) med sidelengde c og areal c2.oppdelt kvadtrat   

 

Flytt på trekantene inne i det store kvadratet som vist på neste figur. (I GeoGebra lager du en ny tegning. Bruk rutenett.)

Arealet av de to store kvadratene er like store da sidelengdene er lik a + b.

Samlet areal til de 4 rettvinklede trekantene er like store i begge figurene.

Det må bety at det lyseblå arealet i de to figurene er like stort, altså at a2 + b2 = c2. Dette er nettopp Pytagoras' setning for våre rettvinklede trekanter.