Fagstoff

Bruk av formlikhet for å regne ut ukjente sider i trekanter

Publisert: 15.06.2010, Oppdatert: 03.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

Eksempel 1

Trekantene ΔABC og ΔDEF er formlike. Regn ut lengdene til de ukjente sidene.

Formlike trekanter  

Her ser vi at sidene AB og DE er tilsvarende sider fordi begge er motstående sider til vinklene på 88,7°. Sidene  AF og DF ligger begge motsatt av vinklene som er 63,4° og er også tilsvarende. Det samme er sidene BC og EF.

Vi kan finne de ukjente sidene ved å bruke målestokken.

Vi regner ut målestokken når vi går fra ΔDEF til ΔABC. Målestokken = ABDE=96=1,5

Det betyr at AC=DF·1,5=5,4·1,5=8,1.

Når vi går motsatt vei, må vi dele med målestokken.

Det betyr at EF=BC1,5=4,21,5=2,8

Eksempel 2

Et tre står på en horisontal slette. Vi skal finne ut hvor høyt treet er uten å felle det.

Utstyr: Sol og metermål

Vi setter en pinne ned i bakken litt bortenfor treet og måler avstanden skyggen kaster ved pinnen og ved treet. Se figuren nedenfor.

To formlike trekanter. Illustrasjon.  

Både pinnen og treet danner en vinkel på 90° med bakken, og solstrålene danner samme vinkel med bakken der hvor pinnen står som der hvor treet står. Vi får derfor to formlike trekanter, og det fremgår av figuren hvilke sider som er tilsvarende.

Vi regner ut målestokken når vi går fra den minste trekanten til den største trekanten

  Målestokken = 15 m1,2 m=12,5Høyden til treet= 1,0 m·12,5 m= 12,5 m

Legg merke til at vi også kan finne den ukjente siden ved å bruke likning.

Vi setter høyden av treet lik x, og siden forholdet mellom tilsvarende sider er konstant, kan vi sette opp og løse likningen

x1,0=151,2    x=12,5·1,0    x=12,5

Treet er 12,5 meter høyt.

Eksempel 3

To formlike trekanter. Illustrasjon.   På figuren er AB og DE parallelle. Linjestykkene AE og BD skjærer hverandre i C. 

Oppgave

Vis at Δ ACB og Δ EDC er formlike, og bruk dette til å regne ut lengden til siden BC.

Løsning

ACB=DCE siden disse er toppvinkler. Da er sidene AB og ED tilsvarende sider.

BAC=CDE fordi venstre vinkelbein er felles og høyre vinkelbein er parallelle i de to vinklene. (Samsvarende vinkler ved parallelle vinkelbein).

Formlike trekanter Sidene BC og EC er da tilsvarende sider fordi de er motstående sider til like store vinkler.

Vinklene i de to trekantene er parvis like store, og trekantene er formlike.
Vi regner ut målestokken når vi går fra den minste trekanten til den største

Målestokken=150 cm60 cm=2,5
Da er BC=45 cm·2,5=113 cm
Også her kan vi sette opp og løse en likning siden forholdet mellom tilsvarende sider er konstant. Det er lurt å alltid begynne med den ukjente siden
        BCEC=ABDE    BC45 cm=150 cm60 cmBC·45 cm45 cm=150 cm·45 cm60 cm          BC=113 cm

 

Oppgaver

Generelt

Relatert innhold