Fagstoff

Harmoniske svingninger. Periode, amplitude, likevektslinje og faseforskyvning

Publisert: 07.12.2016, Oppdatert: 07.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Periode - Amplitude - Likevektslinje

Vi vil nå studere en generell sinusfunksjon gitt ved  fx=Asinkx+φ+d hvor A og k er positive størrelser.

Du kan selv lage aktuelle glidere i GeoGebra og undersøke hvordan grafen til funksjonen endrer seg når du endrer parameterne d, A, k og φ.

Nedenfor har vi tegnet grafen til f når d=3, A=32, φ=-π2 og k=2.

Funksjonsuttrykket blir fx=32sin2x-π2+3.

Bilde av en graf  

Likevektslinje

Tidligere har vi sett at grafen til sinx svinger rundt x-aksen. Denne grafen svinger rundt linjen y=3. Konstanten d bestemmer den horisontale linjen grafen svinger rundt. Vi kaller denne linjen for likevektslinja.

Sinusverdiene svinger mellom -1 og 1. Da vil funksjonsverdiene svinge mellom -32+3 og 32+3.

Fra grafen leser vi at i funksjonsuttrykket er d=3.

Amplitude

Avstanden fra likevektslinjen til et topp- eller bunnpunkt på grafen kaller vi amplituden til funksjonen. Svingningene i funksjonsverdiene gir denne avstanden lik 32. 

Fra grafen leser vi at amplituden er lik 32. Det vil si at i funksjonsuttrykket er A=32.

Periode

Vi så tidligere at sinx har en periode på 2π. Det var fordi at etter at vinkelen x hadde løpt fra 0 til 2π, altså én runde på enhetssirkelen, så begynte funksjonsverdiene å gjenta seg.

For funksjonen sinkx+φ vil funksjonsverdiene begynne å gjenta seg når kx=2π, det vil si når x=2πk.

Funksjonen Asinkx+φ+d har derfor periode x=2πk.

I funksjonsuttrykket  fx=32sin2x-π2+3 er k=2, og perioden er da  x=2πk=2π2=π.
Fra grafen kan du finne perioden ved for eksempel å se på avstanden mellom to påfølgende toppunkt eller lese av langs likevektslinjen. Grafen ovenfor har periode x=3π2-π2=π. Du kan da finne konstanten k i funksjonsuttrykket ved å sette 2πk=π. Ved å løse denne likningen får vi at k=2ππ=2.

Faseforskyvning

Bilde av et koordinatsystem    

Alle sinusfunksjoner på formen f0x=Asinkx+0+d skjærer y-aksen der likevektslinja skjærer y-aksen, og der f0 er voksende. Leddet Asinkx+0=0 når x=0, og når x-verdiene øker fra null, så øker også sinusverdiene og dermed funksjonsverdiene. Vi har at f00=d.

Tilsvarende skjæringspunkt med likevektslinjen for fx=Asinkx+φ+d er når kx+φ=0. Det vil si når x=-φk. Funksjonene f og f0 har ellers lik form, de har samme likevektslinje, amplitude og periode.

Det betyr at grafen til funksjonen f(x) er parallellforskjøvet en avstand  x=-φk  langs x-aksen (likevektslinjen) i forhold til grafen til f0x.

Vi sier at fx har en faseforskyvning i forhold til f0x som er lik -φk.
Faseforskyvningen er altså en x-verdi hvor f(x) skjærer likevektslinjen for voksende funksjonsverdier.

Av uttrykket for faseforskyvning ser du dette:

Når φ er negativ, er faseforskyvningen positiv, og grafen er forskjøvet mot høyre.

Når φ er positiv, er faseforskyvningen negativ, og grafen er forskjøvet mot venstre.
Fra funksjonsuttrykket
vet du at φ=-π2. Da er faseforskyvningen x=--π2  2=π4.
Forskyvningen er mot høyre siden φ er negativ.

Fra grafen kan du lese av faseforskyvningen som vist på figuren. Grafen viser at faseforskyvningen er π4. Da er -φ2=π4 som gir φ=-π2.

Oppsummering

En funksjon  f  gitt ved fx=Asinkx+φ+d,  har

 

Likevekstlinje y=d  Amplitude=A  Periode x=2πk  Faseforskyvning x=-φk

 

Når φ er negativ, er faseforskyvningen positiv, og grafen er forskjøvet mot høyre
Hvis φ er positiv, er faseforskyvningen negativ, og grafen er forskjøvet mot venstre

Når du skal lage en skisse av en graf til en sinusfunksjon på grunnlag av funksjonsuttrykket, kan det være lurt å starte med å avsette likevektslinjen og deretter faseforskyvningen på likevektslinjen.

Oppgaver

Generelt