Fagstoff

Drøfting av polynomfunksjoner på grunnlag av egenskaper til den deriverte funksjonen

Publisert: 25.06.2010, Oppdatert: 22.02.2016
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

Klatrer opp på fjelltopp. Foto. Vi kan bruke den deriverte til å finne topp- og bunnpunkter på grafen til en funksjon og til å bestemme hvor grafen stiger og synker. Dette kan vi gjøre ved regning, uten å tegne grafen.

Monotoniegenskaper

Å finne ut hvor grafen til en funksjon stiger og hvor grafen synker, kalles for å drøfte funksjonens monotoniegenskaper.

Å drøfte en funksjon betyr gjerne at vi skal undersøke monotoniegenskapene og bestemme topp- og bunnpunkter på grafen.

Drøfting av polynomfunksjoner

Utfordring!

Tegn grafen til tredjegradsfunksjonen f gitt ved fx=13x3-12x2-2x+1.

Tegn deretter tangenter til grafen for noen x-verdier mellom -2 og 3.

Undersøk om det er en sammenheng mellom tangentenes stigningstall og hvorvidt grafen stiger, synker eller har topp- eller bunnpunkter.

Bilde av ulike detaljer på grafen  Ser du at

- Stigningstallet til tangenten er positivt når grafen stiger.
- Stigningstallet til tangenten er negativt når grafen synker.
- Stigningstallet til tangenten er null i topp- og bunnpunkter.

Siden tangentens stigningstall er lik den deriverte til funksjonen, betyr dette at

Når grafen stiger, er den deriverte positiv. Det motsatte gjelder også. Hvis den deriverte er positiv, så stiger grafen.

Når grafen synker, er den deriverte negativ. Det motsatte gjelder også. Hvis den deriverte er negativ, så synker grafen.

Når grafen har topp- eller bunnpunkt, er den deriverte lik null.

Dette betyr at vi kan finne ut for hvilke verdier av x grafen til en funksjon stiger, for hvilke verdier av x den synker, og når den har topp- eller bunnpunkt ved å se på fortegnet til den deriverte. Vi viser dette gjennom noen eksempler.

Maksimalpunkter og minimalpunkter kaller vi ekstremalpunkter. Andrekoordinaten til et toppunkt er en maksimalverdi til funksjonen, og andrekoordinaten til et bunnpunkt er en minimalverdi. Maksimal- og minimalverdiene ofte lokale maksimal- og minimalverdier. Det vil si at de er maksimal- og minimalverdier i et intervall omkring ekstremalpunktet.

 

Stasjonære punkter

Tenkeboble, stasjonære punkt

I et stasjonært punkt er f'(x) = 0.
Et stasjonært punkt er et toppunkt eller et bunnpunkt hvis f'(x)  skifter fortegn i punktet.
Et terrassepunkt er et stasjonært punkt hvor funksjonen ikke endrer seg fra voksende til avtagende eller fra avtagende til voksende. Det vil si at den deriverte ikke skifter fortegn.

Relatert innhold

Faglig