Fagstoff

Derivasjonsregler

Publisert: 25.06.2010, Oppdatert: 25.04.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Det er ikke nødvendig å bruke definisjonen av den deriverte hver gang vi skal derivere et utrykk.

Ved å bruke definisjonen på noen generelle uttrykk, kan vi komme fram til generelle derivasjonsregler. Det er disse formlene vi vanligvis bruker.


Det er veldig viktig at du lærer deg disse reglene!


Den deriverte til en konstant funksjon

Grafen til en konstant  Grafen til en konstant funksjon er en linje parallell med x - aksen. En slik linje har stigning lik null, derfor er den deriverte til en konstant funksjon lik null.

 

Vi får som generell regel

 

 

 

Konstant funksjon
f (x) = k f´(x) = 0

 

Eksempel 1        y=3y'=0       Eksempel 2       y=π       y'=0              Eksempel 3              y=3π2              y'=0
 

 

Den deriverte til en potensfunksjon

Vi vil finne den deriverte funksjonen til f(x) = x2. Vi bruker difinisjonen

f'x=limΔx0ΔyΔx=limΔx0fx-Δx-fxΔx=limΔx0x-Δx2-x2Δx=limΔx0x2+2·x·Δx+Δx2-x2Δx=limΔx02·x·Δx+Δx2Δx=limΔx0Δx2·x+ΔxΔx=limΔx02x+Δx=2x

Vi har vist at x2'=2x. Tilsvarende kan vi vise at x3'=3x2 og at x4'=4x3.

Ser du mønsteret? Det kan vises at generelt er xn'=nxn-1 uansett hvilket tall n er.

Potens funksjon f (x) = xn f´(x) =n·xn-1

Eksempel 1          fx=x2f'x=2x2-1=2x1=2x   Eksempel 2   fx=x3f'x=3x3-1=3x2              Eksempel 3              fx=x5              f'x=5x4

Potensfunksjon multiplisert med konstant

Det kan vises at følgende regel gjelder for produktet mellom en konstant og en potensfunksjon

Potensfunksjon multiplisert med konstant f (x) = k·xn f´ (x) =k·(xn)´=k·n·xn-1

Eksempel 4                  fx=3·x2f'x=3·2x2'      =3·2x      =6xEksempel 5fx=3·x4f'x=3·4·x4-1      =12x3

Den deriverte til summer og differenser

Det kan vises at vi kan derivere summer og differenser ved å derivere ledd for ledd.

Summer og differanser f (x) = g(x)+h(x) f´(x) = g´(x)+h´(x)

 

Eksempel 1            fx=3-x2f'x=0-2xf'x=-2xEksempel 2             fx=x3+5x2f'x=3x2+5·2xf'x=3x2+10xEksempel 3fx=ax+bf'x=a

 

Derivasjon av polynomfunksjoner

Ved å bruke reglene ovenfor er du nå i stand til å derivere alle polynomfunksjoner.

Legg merke til siste eksempel. Den deriverte til en rett linje er lik stigningstallet til linjen.
 
Oppgaver

Aktuelt stoff

Generelt