Fagstoff

Gjennomsnittlig vekstfart

Publisert: 24.06.2010, Oppdatert: 01.08.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Når en funksjon ikke er lineær, vil vekstfarten variere fra sted til sted på kurven. Jo brattere kurven er, jo større er vekstfarten.

Vi kan finne den gjennomsnittlige vekstfarten over et intervall [x1, x2] på følgende måte

Illustrasjon av grafer og punkter  
En sekant er en rett linje som skjærer en krum kurve i minimum to punkter.

Vi trekker en rett linje, sekant, gjennom punktene x1,fx1 og x2,fxx.
Vi regner så ut stigningstallet til denne sekanten:

a=ΔyΔx=fx2-fx1x2-x1

Vi har da funnet et mål for gjennomsnittlig vekstfart for funksjonen når x øker fra x1 til x2.

Gjennomsnittelig vekstfart. Stigningstallet til sekanten


Den gjennomsnittlige vekstfarten for en funksjon f(x) når x vokser fra x1 til x2, er lik stigningstallet til sekanten gjennom punktene x1,fx1 og x2,fxx.

 

a=ΔyΔx=fx2-fx1x2-x1

Eksempel

To gutter sammenligner høyden. Foto. Som 13 åring var Niels Henrik 149 cm høy. Fire år senere var han 181 cm. Vi lar x være alderen tilNiels Henrik og y være høyden. Vi får at den gjennomsnittlige vekstfarten til Nils Henrik i fireårsperioden blir

ΔyΔx=181 cm-149 cm4 år=32 cm4 år=8cmår

Eksempel

Vekstfart. Graf.   En funksjon f er gitt ved fx=x2+2

Vi ønsker å finne den gjennomsnittlige vekstfarten til f når x vokser fra x = 0,5 til x = 2.

Gjennomsnittelig vekstfart

ΔyΔx=f2-f0,52-0,5    =22+2-0,52+22-0,5    =6-2,251,5    =2,5





 

Eksempel

Morelltre i motlys. Foto.Morelltre i bløming I 2006 plantet Elin et morelltre.

Funksjonen h gitt ved

hx=-0,003x3+0,09x2+1     x0,20

viser høyden til morelltreet i meter x år etter at det ble plantet.

Vi ønsker å finne hvor mye treet vokset i gjennomsnitt per år i perioden 2007 til 2013.

I GeoGebra tegner vi først grafen til h . Deretter avsetter vi punktene A=1,h1 og B=7, h7.

Så bruker vi verktøyknappen «Linje» for å tegne linjen gjennom de to punktene. Deretter bruker vi knappen «Stigning» for å finne stigningstallet til linjen.

Vi finner at stigningstallet til sekanten gjennom A og B er 0,5. Det vil si at treet i gjennomsnitt har vokst med 0,5 meter per år i årene 2007 til 2013.

Vekstfart. Graf.  

 

Gjennomsnittlig vekstfart i CAS. Bilde. Vi kan også finne gjennomsnittlig vekstfart per år i perioden 2007 til 2013 ved CAS i GeoGebra

Vi får samme resultat som ovenfor.

 

Momentan vekstfart

Vi ønsker å finne en tilnærmet verdi for hvor fort treet vokser når det er akkurat ett år gammelt. Vi kaller dette for den momentane veksten når treet er ett år.

Vi finner først gjennomsnittlig vekstfart fra det første året til det tredje året og deretter fra det første året til det andre året.

Vekstfart. Graf.   
Grafene ovenfor viser at gjennomsnittlig vekstfart fra det første året til det tredje året er 32 cm per år, og at gjennomsnittlig vekstfart fra det første året til det andre året er 25 cm per år.

Stigningen til sekantene blir mer og mer lik brattheten til grafen når jo nærmere hverandre de to punktene er. Av de to tilnærmingsverdiene, er det derfor den siste som er den beste tilnærmingen.

Vekstfart. Graf.  For å finne en enda bedre tilnærmingsverdi reduserer vi avstanden mellom punktene enda mer.

Til slutt vil punktene falle sammen til ett punkt, og sekanten blir en tangent til kurven i dette punktet.

Stigningen til denne tangenten gir den aller beste tilnærmingsverdien for den momentane vekstfarten når x=1.

Vi kan altså finne en tilnærmet verdi for den momentane vekstfarten i et punkt på en kurve ved å tegne en tangent til kurven i punktet og finne stigningstallet til denne tangenten.

Oppgaver

Aktuelt stoff for