Fagstoff

Polynomfunksjoner

Publisert: 02.08.2010, Oppdatert: 03.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

Definisjon

 

Et polynom er et uttrykk med ett eller flere ledd der hvert ledd består av en konstant multiplisert med xn, der n er et ikke-negativt heltall. Den høyeste eksponenten i uttrykket gir oss graden til polynomet. Uttrykket x-4+2x3 er et tredjegradspolynom, fordi den høyeste eksponenten i uttrykket er tre.

 

En polynomfunksjon er en funksjon som har et polynom som funksjonsuttrykk.

 

Uttrykket 3x+3 er et polynom av første grad fordi x er av første grad. Uttrykket 2x2-2x+4 er et polynom av andre grad, fordi vi har et ledd hvor x  er opphøyd i andre potens. To er den høyeste eksponenten x har. x-4+2x3 er et eksempel på et tredjegradspolynom, fordi den høyeste eksponenten av x her er tre.

Det er vanlig å ordne et polynom slik at leddet med den høyeste eksponenten kommer først, leddet med nest høyest eksponent kommer som nummer to osv. Fjerdegradspolynomet -5+3x3-x2+7x4 skriver vi på ordnet form som 7x4+3x3-x2-5. Tallene foran potensene av x  kaller vi for koeffisienter. I dette fjerdegradspolynomet er koeffisienten foran x2 lik −1.

Lineære funksjoner og andregradsfunksjoner er polynomfunksjoner av henholdsvis første og andre grad. Tredjegradsfunksjoner er polynomfunksjoner av tredje grad.

Vi tegner grafen til tredjegradsfunksjonen gitt ved

 fx=13x3+12x2-x-1

Polynomfunksjon  

Nullpunkter

Funksjonen har nullpunktene -2,2 ,0, -0,8 ,0 og 1,6 ,0.

Skjæring med y-aksen

Grafen skjærer y-aksen når x = 0. Skjæringspunktet er (0, -1).

Topp- og bunnpunkter

Grafen har toppunkt -1,6 , 0,5.
Grafen har bunnpunkt 0,6 , -1,3.

For andregradsfunksjoner sa vi at en funksjon hadde sin laveste verdi i bunnpunktet og høyeste verdi i toppunktet. En tredjegradsfunksjon kan ha høyere verdier enn i toppunktet andre steder på grafen. Vi sier allikevel at grafen har et toppunkt, selv om det bare er lokalt.

Ekstremalpunkter

 

Du har sett at kommandoen i GeoGebra for å finne topp- eller bunnpunkter er «Ekstremalpunkt[<Polynom> ]».

 

I Eksamensveiledning 2015 fra Utdanningsdirektoratet defineres ekstremalpunkt som førstekoordinaten til et topp- eller bunnpunkt.

 

Et ekstremalpunkt er et fellesnavn for maksimal- eller minimalpunkter.

 

Et maksimalpunkt er førstekoordinaten til et toppunkt. Andrekoordinaten kalles en maksimalverdi.

Et minimalpunkt er førstekoordinaten til et bunnpunkt. Andrekoordinaten kalles en minimalverdi.

Oppgaver

Generelt

Relatert innhold