Fagstoff

Dempete svingninger

Publisert: 29.04.2013, Oppdatert: 08.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Dempede svigninger Et lodd som henger i en fjær og beveger seg vil normalt alltid være påvirket av en friksjonskraft. Dette kan for eksempel være luftmotstanden. En modell for friksjonskraften, når farten ikke er for høy, er at den er proporsjonal med farten og alltid rettet mot fartsretningen

Friksjonskraften = −bv

der b er en konstant og v er farten.

Når klossen beveger seg i positiv retning, er farten positiv og friksjonskraften negativ. Når klossen beveger seg i negativ retning, er farten negativ og friksjonskraften positiv. Friksjonskraften virker altså alltid i motsatt retning av bevegelsesretningen.

Et lodd blir trukket nedover en strekning y fra likevektsstillingen, se Figur 3, og slippes.

Newtons andre lov sier at summen av kreftene som virker på loddet er lik m · a..
Vi velger positiv retning nedover.

mg-bv-ky+s=ma

Når systemet fjær og lodd er i likevekt, se Figur 2, sier Newtons første lov at summen av kreftene som virker på loddet er null. Det gir mg − ks = 0.

Vi får da

mg-bv-ky+s=mamg-bv-ky-ks=ma-bv-ky=ma

Vi får likningen som beskriver svingetiden

  ma+bv+ky=0 my''+by'+ky=0y''+bmy'+kmy=0

Eksempel

Dempede svigninger eksempel

Et lodd med masse m = 1,0 kg henger i en fjær. Fjærkonstanten er k=2Nm. Loddet dras 0,5 m. nedover i positiv retning før det slippes ved t = 0. Friksjonstallet for luftmotstanden er b=0,05 Ns/m. 

Newtons andre lov gir

mg-bv-ky+s=mamg-bv-ky-ks=ma                           mg-ks=0-bv-ky=ma

Vi får likningen som beskriver svingebevegelsen

ma+bv+ky=0my''+bv'+ky=0y''+bmy'+kmy=0y''+0,051,0y'+21,0y=0y''+0,05y'+2y=0

 

Den karakteristiske likningen blir

r2+0,05r+2=0

Den karakteristiske likningen har to komplekse løsninger

r2+0,05r+2=0r=-0,05±0,0025-82r1=-0,025+1,41i      r2=-0,0025-1,41i

Den generelle løsningen er

y=eAxCsinBx+DcosBx=e-0,025tCsin1.41t+Dcos1.41t

Startbetingelsen, y0=0,5, gir

0,5=e-0,025·0Csin1,41·0+Dcos1,41·00,5=DD=0,5

Ved tiden null er også farten null. Vi deriverer derfor uttrykket for y og setter y'0=0

y=e-0,025tCsin1,41t+0,5cos1,41ty'=-0,025e-0,025tCsin1,41t+0,5cos1,41t         +e-0,025t1,41Ccos1,41t-1,41·0,5sin1,41t0=-0,25e-0,025tCsin1,41·0+0,5cos1,41·0         +e-0,025·01,41Ccos1,41·0-1,41·0,5sin1,41·00=0,025·0,5+1,41CC=0,025·0,51,41=0,00887

Likningen for avstanden fra likevektslinjen som funksjon av tiden blir da

y=e0,025tCsin1.41t+Dcos1.41te-0,0250,00887sin1.41t+0,5cos1.41t

I CAS i GeoGebra: «LøsODE[y″-0.05y′+2y=0, (0, 0.5),(0,0)]»

Grafen viser at utslaget fra likevekttilstanden (amplituden) blir mindre og mindre. Dette kalles en dempet svingning.

Bilde av koordinatsystem 

Vi tenker oss nå at loddet med massen m = 1,0 kg. henger i en mindre stiv fjær inne i en beholder med seig væske slik at friksjonskoeffisienten er b = 1,5 Ns/m. Fjærkonstanten er k=0,5Nm. 
Loddet dras 0,5 m nedover i positiv retning før det slippes ved t = 0.

Vi må nå løse differensiallikningen

y''+bmy'+kmy=0y''+1,51,0y'+0,51,0y=0y''+1,5y'+0,5y=0

Den karakteristiske likningen blir

r2+1,5r+0,5=0

Den karakteristiske likningen har nå to reelle løsninger

r2+1,5r+0,5=0r=-1,5±2,25-22r1=-0,75+0,25      r2=-0,75-0,25r1=-0,5                 r2=-1

Den generelle løsningen på posisjonslikningen er

y=Cer1x+Der2x=Ce-0,5t+De-t

Startbetingelsen, y=(0)=0,5, gir

0,5=Ce-0,5·0+De0             0,5=C+D

Ved tiden null er også farten null.
Vi deriverer derfor uttrykket for y og setter y'0=0

y=Ce-0,5t+De-1

y'=-0,5Ce-0,5t-De-t

0=-0,5Ce-0,5·0-De-1·00=-0,5C-DD=-0,5C

Vi kombinerer de to likningene med C og D

0,5=C+-0,5C  C=1

D=-0,5CD=-0,5

Likningen for posisjonen til loddet som funksjon av tiden blir da

y=Ce-0,5t+De-t=e-0,5t-0,5e-t

I CAS i GeoGebra: «LøsODE[y″+1.5y′+0.5y=0, (0, 0.5),(0,0)]»

Bilde av et koordinatsystem 

Grafen viser at loddet gradvis nærmer seg likevektslinjen. Friksjonen er så stor at loddet ikke vil svinge om likevektslinjen. Vi har overdempet svingning.

 

Oppsummering

Likningen for frie svingninger i et kloss-fjær-system er

 

y''+bmy'+kmy=0

 

Her er m massen til klossen, k fjærkonstanten og b friksjonskonstanten.

 

Hvis b = 0, får vi harmoniske (udempede) svingninger.

 

Hvis b > 0, får vi dempede svingninger.