Fagstoff

Når den karakteriske likningen har to komplekse løsninger

Publisert: 29.04.2013, Oppdatert: 08.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Bilde av en tenkeboble 

Vi ser så på det tilfellet at det som står under rottegnet er negativt

Du er vant med at vi da sier at andregradslikningen ikke har noen løsning. "Det fins ikke noe tall som opphøyd i andre er lik -1".

Eller finnes det likevel?

Problemet kan sammenliknes med problemene rundt innføringen av de negative tallene. I de tidligste kulturene ble det bare brukt positive tall. Da behovet for negative tall og tallet null etter hvert oppstod, tok det flere hundre år før de ble fullt ut akseptert. Man diskuterte om negative tall virkelig eksisterte.

Ved å innføre komplekse tall, er problemet med negative tall under rottegnet i løsningsformelen for andregradslikninger løst.

Tallet i=-1 ble innført.

Da er for eksempel -16=16·-1=4i.

Et komplekst tall består av en reell del og en imaginær del og defineres som A + Bi hvor A utgjør den reelle delen av tallet og Bi den imaginære delen. A og B er reelle tall.

Bilde av et koordinatsystem Vi kan oppfatte de komplekse tallene som punkter i et koordinatsystem hvor  er enheten langs andreaksen, den imaginære akse, og 1 er enheten langs førsteaksen, den reelle aksen.

Vi oppfatter da det komplekse tallet A + Bi som et punkt med koordinatene (A,B).

Alle våre til nå kjente reelle tall ligger på den reelle aksen.

Det kan vises at

Når den karakteristiske likningen

 

r2+br+c=0

 

har to komplekse løsninger r1=A+Bi og r2=A-Bi, så har 
differensiallikningen

 

y''+by'+cy=0

 

den generelle løsningen

 

y=eAxCsinBx+DcosBx

 

hvor koeffisientene C og D er vilkårlige konstanter

Døme. Komplekse løysingar

Komplekse løsninger på karakteristisk likning 1 

Vi ønsker å finne den generelle løsningen av differensiallikningen y''+2y'+5y=0. 
Vi vil også vise at løsningen blir y=e-x0,25sin2x+0,5cos2x hvis y=0,5 og y'=0 når x=0.

Den karakteristiske likningen blir

r2+2r+5=0

Likningen har to komplekse løsninger

r1,2=-2±22-4·52r1,2=-2±-162r1,2=-2±4-12        Tallet under rottegnet er negativt.r1=-1+2i      r2=-1-2i

Den generelle løsningen blir

y=eAxCsinBx+DcosBx=e-xCsin2x+Dcos2x

Vi har at y=0,5 og y'=0 når x=0.

Vi regner først ut y´

y=e-xCsin2x+Dcos2x

y'=-e-xCsin2x+Dcos2x+e-x2Ccos2x-2Dsin2xy'=e-x2Ccos2x-2Dsin2x-Csin2x-Dcos2xy'=e-x2C-Dcos2x-2D+Csin2x

y=0,5 når x=0

   y=e-xCsin2x+Dcos2x0,5=e-0Csin2·0+Dcos2·00,5=10+D·1   D=0,5

 

y'=0 når x=0

     y'=e-x2C-Dcos2x-2D+Csin2x      0=e-02C-Dcos2·0-2D+Csin2·0      0=12C-D·1-2D+C·02C-D=0    2C=0,5      C=0,25

Den spesielle løsningen er

y=e-xCsin2x+Dcos2x=e-x0,25sin2x+0,5cos2x

Ved CAS i GeoGebra: «LøsODE[y″+2y′+5y=0, (0, 0.5),(0,0)]»

Komplekse løsninger på karakteristisk likning 2