Fagstoff

Når den karakteristiske likningen har én reell løsning

Publisert: 29.04.2013, Oppdatert: 08.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Det kan vidare vises at

Når den karakteristiske likningen

 

r2+br+c=0

 

har én reell løsning r, så har differensiallikningen

 

y''+by'+cy=0

 

den generelle løsningen

 

y=Cerx+Dxerx

 

hvor koeffisientene C og D er tilfeldige konstanter.

En reell løsning på karakteristisk likning 

Eksempel. Èn reell løsning

Vi vil finne den generelle løsningen av differensiallikningen y''-2y'+y=0. Vi vil også sette prøve for å kontrollere at den løsningen vi har funnet er riktig.

Den karakteristiske likningen blir

r2-2r+1=0

Likningen har to like løsninger

r1,2=2±-22-4·12r1,2=2±02               Tallet under rottegnet er null.r=1

Den generelle løsningen blir

y=Cerx+Dxerxy=Ce1x+Dxe1xy=Cex+Dxex

For å sjekke om løsningen er riktig, regner vi ut y´ og y´´ setter inn i differensiallikningen

y=Cex+Dxexy'=Cex+Dex+Dxexy''=Cex+Dex+Dex+Dxex    =Cex+2Dex+Dxex

Vi setter så inn i differensiallikningen y''-2y'+y=0, for å sjekke at løsningen vår er riktig

Venstre side

y''-2y'+y=Cex+2Dex+Dxex-2Cex+Dex+Dxex+Cex+Dxex             =Cex+2Dex+Dxex-2Cex-2Dex-2Dxex+Cex+Dxex             =0

Siden venstresiden og høyresiden begge er lik null, er løsningen riktig.

Ved CAS i GeoGebra: «LøsODE[y″-2y′+y=0]»