Fagstoff

Når den karakteristiske likningen har to reelle løsninger

Publisert: 29.04.2013, Oppdatert: 08.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Det kan vises at

Når den karakteristiske likningen 

 

r2+br+c=0

 

har to reelle løsninger r1 og r2, så har differensiallikningen 

 

y''+by'+cy=0

 

den generelle løsningen

 

y=Cer1x+Der2x

 

hvor koeffisientene C og D er vilkårlige konstanter.

To reelle løsninger på karakteristisk likning 

Eksempel. To reelle løsninger

Vi vil finne løsningen av differensiallikningen y''-2y'-3y=0 når y(0)=2 og y'0=1.

Den karakteristiske likningen blir

r2-2r-3=0

Likningen har to reelle løsninger

r1,2=2±-22-4·-32r1,2=2±162               Tallet under rottegnet er positivt.r1=-1      r2=3

De generelle løsningene av differensiallikningen er da

y=Cer1x+Der2xy=Ce-x+De3x

Startbetingelsene y0=2 gir at

Ce-0+De3·0=2         C+D=2

Vi regner ut y´

y=Ce-x+De3xy'=-Ce-x+3De3x

Når vi tar hensyn til startbetingelsen y'0=1 får vi

                    y'=-Ce-x+3De3x-Ce-0+3De3·0=1           -C+3D=1

Det gir to likninger og to ukjente

C+D=2                 -C+3D=1       C=2-D      -2-D+3D=1    C=2-D               D+3D=3    C=54                         D=34

Vi setter så verdiene for konstantene inn i den generelle løsningen og får løsningen

y=54e-x+34e3x

Ved CAS i GeoGebra: «LøsODE[y″-2y′-3y=0, (0, 2),(0, 1)]»