Fagstoff

Andreordens homogene differensiallikninger

Publisert: 29.04.2013, Oppdatert: 08.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Gjenkjenne andreordens homogene differensiallikninger

En andre ordens lineær og homogen differensiallikning med konstante koeffisienter kan skrives på formen

 

y''+by'+cy=0

 

hvor koeffisientene b og c er reelle tall.

 

Likningen er av andre orden fordi den inneholder et ledd med
 y'' og ingen ledd med høyere orden av den deriverte.

 

Likningen er lineær fordi y, y' og y'' ikke opptrer i

annen potens eller noen høyere potens.

 

Likningen er homogen fordi alle ledd inneholder enten
y, y' eller y''  .

 

At likningen har konstante koeffisienter betyr at b og c er reelle tall og ikke funksjoner av argumentet.

Generell løsning av andreordens lineære og homogene differensiallikninger 

I forrige avsnitt løste vi første ordens differensiallikninger og fant blant annet en generell løsning på likningen y'+ay=0 som y=Ce-ax der C er en vilkårlig konstant.

En alternativ måte å komme fram til denne løsningen på er å undersøke om likningen kan ha en løsning på formen y=erx, og så se hvilke betingelser vi da må sette.

y=erxy'=rerxy'+a·y=0rerx+a·erx=0erxr+a=0r+a=0r=-a

Metoden er at vi undersøker om y=er·x kan være en løsning. Vi får som svar at det kan den hvis r+a=0. Det vil si hvis r=-a. Vi har altså fått samme løsning med denne metoden som med den metoden vi har brukt tidligere.

Vi ser at denne løsningen, multiplisert med en vilkålig konstant C, også er en løsning fordi

y=Ce-axy'+a·y=-Cae-ax+Ca·e-ax=0

 

Det er da fristende å forsøke denne metoden også på vår andreordens differensiallikning.

Vi ønsker å finne en løsning til likningen

y''+by'+cy=0

Vi antar at y=erx er en løsning.

Da er

y'=rerx og y''=r2erx

Innsatt i likningen får vi

      y''+by'+cy=0r2erx+brerx+cerx=0     erxr2+br+c=0

Da erx aldri kan bli lik null, må derfor r2+br+c=0 være lik null for at y=erx skal være en løsning.

Bilde av en tenkeboble Likningen r2+br+c=0 kalles for den karakteristiske likningen til differensiallikningen y''+by'+cy=0.

Vi får en litt mer komplisert betingelse enn for første ordens differensiallikninger der den karakteristiske likningen var
r
+ a = 0.

Vår andreordens differensiallikning har y = erx som løsning hvis og bare hvis r er løsning av likningen r2 + br + c = 0. Fra abc-formelen får vi to løsninger gitt ved

r1,2=-b±b2-4c2

Som kjent får vi to reelle verdier for r hvis det som står under rottegnet er positivt. Hvis det som står under rottegnet er lik null, får vi en verdi for r.