Fagstoff

Proporsjonal vekst

Publisert: 29.04.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Modellering - Proporsjonal vekst 

Tenk deg at du setter 10 000 kroner i banken. Pengene står urørt på en konto og du får en årlig rente på 8 %. Regning med vekstfaktor gir at etter t år i banken har beløpet vokst til 10 000·1,08t kroner. Hvert år vokser beløpet med 8 % av beløpet som stod på kontoen året før. Når rentene blir beregnet på denne måten, tar en ikke hensyn til at beløpet egentlig vokser gjennom hele året; det beregnes ikke renter av de rentene som opparbeides gjennom året.Bilde av forskjellige norske pengesedlerVokser pengene dine proporsjonalt?

Noen banker gjør det litt annerledes. De beregner renter hver måned som en tolvdel av årsrenten, og legger disse rentene til innestående beløp. Neste måned blir det en høyere kapital å beregne renter av, og rentene blir høyere for denne måneden enn for den forrige. Vi sier at bankene kapitaliserer rentene hver måned.

Enda mer gunstig for kunden er det hvis rentene kapitaliseres hver dag, og mest gunstig hvis rentene kapitaliseres hele tiden.

Dette kan vi få til ved å sette opp en differensiallikning.

Vi lar y være innestående kapital og setter

y'=0,08·y

Vi ordner differensiallikningen og løser den

                    y'-0,08y=0y'·e-0,08t-0,08y·e-0,08t=0·e-0,08t                  y·e-0,08t'=0                     y·e-0,08t=0dt                     y·e-0,08t=C                               y=Ce-0,08t                               y=C·e0,08t

Bilde av et koordinatsystem Når t = 0 er beløpet i banken kr 10 000. Vi lar y angi beløpet i antall tusen kroner, og får

10=C·e0,08·010=C·1 C=10

Ved kontinuerlig vekst vil innestående beløp til enhver tid være gitt ved

y=10·e0,08t

Vi kan sammenlikne de to vekstkurvene grafisk og se hva som lønner seg for banken eller kunden.

Etter 40 år er forskjellen på kr 28 000 til fordel for kontinuerlig vekst, og etter 50 år er forskjellen på kr 77 000.

Kanskje bør du undersøke på hvilken måte pengene forrentes hvis du tenker på å sette et pengebeløp i banken med sikte på å trygge pensjonen din om 50 år!

 

Når veksten av en størrelse er proporsjonal med størrelsen selv, har vi differensiallikningen

 

y'=k·y

 

Generell løsning av differensiallikningen er

 

y=C·ekt

 

Oppgaver

Generelt