Fagstoff

Absoluttverdi

Publisert: 29.04.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Bilde av en tenkeboble  Definisjonen av et ubestemt integral gir at 1xdx=Fx+C  der  Fx+C'=1x.

Fra R1 husker du kanskje beviset for at Inx'=1x  når  x0,.

 

 Logaritmefunksjonen

 fx=Inx  x0,

 f'x=1x

 

Bevis

Definisjonen på naturlig logaritme sier at ethvert positivt tall, x, kan skrives som e opphøyd i logaritmen til x. Det gir at

x=eInx   x0,

Når to funksjoner er like, så er også deres deriverte funksjoner like. Vi deriverer venstre og høyre side hver for seg.

Venstre side: x'=1

Høyre side: eInx'=eu'·u'=eu·u'=eInx·Inx'=x·Inx'

Men da er

x·Inx'=1              Inx'=1x

Men hva hvis x,0?

Funksjonen Inx er definert for alle verdier av x siden absoluttverdien av et negativt tall er lik det motsatte tallet som er positivt. Absoluttverdien av -2, skrives som -2, er for eksempel lik 2.

Bilde av et koordinatsystem Tegn grafen til Inx i GeoGebra. Velg et punkt på grafen og tegn tangenten til grafen i punktet. Stigningstallet til tangenten er det samme som Inx'. Stigningstallet til tangenten når for eksempel x=-2, er lik -0,5=1-2. Du kan dra punktet langs grafen og se at både for positive og negative verdier av x så er stigningstallet til tangenten=Inx'=1x.

Definisjonen av et ubestemt integral gir da at 1xdx=Inx.

Du har kanskje også lurt på hvorfor for eksempel 12-xdx=-In2-x+C?

Vi benytter egentlig integrasjon ved variabelskifte.

Vi setter u=2-x som gir dudx=-1 og dx=-du

Det gir

12-xdx=-1udu=-1udu=-Inu+C=-In2-x+C

EksempelBilde av en tenkeboble

Vi vil løse differensiallikningen y'-cosx·y=0.

Vi sjekker først om likningen er separabel

y'=cosx·y1y·y'=cosx  når  y0

Likningen er separabel og vi løser den slik

1ydydxdx=cos xdx     1ydy=cos xdx         Iny=sinx+C1         eIny=esinx+C1           y=esinx·eC1             y=±ec1esinx             y=C·esinx     C=±eC1

Vi forutsatte at y0. Vi må derfor sette inn og sjekke om også y=0 kan være en løsning.

Den opprinnelige likningen var y'-cosx·y=0.

Venstre side

y'-cosx·y=0'-cosx·0=0-0=0

Høyresiden er lik null.

Det betyr at y=0 også er en løsning. Men vi ser at denne er dekket av den løsningen vi før har funnet, ved at konstanten C kan være 0. Det er altså ikke nødvendig å føre opp separat en løsning der y er konstant lik 0. Men det var prinsipielt viktig å undersøke dette!

Oppgaver