Fagstoff

Separable differensiallikninger

Publisert: 29.04.2013, Oppdatert: 08.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 Separable differensiallikninger  

I likningen

y3·y'=x2+x

Bilde av to forskjellige type bønner i papirposeÅ separere betyr å skille fra hverandreer alle leddene med y samlet på venstre side av likhetstegnet og alle leddene med x samlet på høyre side.

x-leddene og y-leddene er separert, skilt fra hverandre, av likhetstegnet.

Differensiallikninger som kan skrives på denne formen kalles for separable differensiallikninger.

 

 

En separabel differensiallikning er en differensiallikning som kan skrives på formen

 

gy·y'=hx

 

Fortsatt gjelder at y er en funksjon av x.

Vi husker at y er en funksjon av x og setter setter y'=dydx. Vi kan da løse likningen ved å antiderivere med hensyn på x på begge sider

gydydxdx=hxdx    gydy=hxdx

Nå kan vi utføre intergasjonene på hver side og forsøke å finne løsninger til differensiallikningen.

I likningen

y3·y'=x2+x

skriver vi y'=dydx, og får

y3·dydxdx=x2+xdx

Nå kan vi utføre integrasjonene på hver side

      y3dy=x2+xdx13·12y2+C1=13x3+12x2+C2

Vi setter C=C2-C1 og får

y2=2x3+3x2+Cy=±2x3+3x2+C

Bilde av en tenkebole Eksempel

Vi har tidligere løst differensiallikningen
2y'=12+4y. 
Vi kan vise at denne likningen også er en 
separabel differensiallikning

      2y'=12+4y        y'=2y+6        y'=2y+31y+3·y'=2          y-3

Likningen kan skrives på formen gy·y'=hx og er derfor en separabel differensiallikning.

Vi løser likningen ved å integrere på venstre og høyre side av likhetstegnet med hensyn på x.

1y+3·y'dx=2dx

Vi setter y'=dydx og får

1y+3·dydxdx=2dx      1y+3dy=2dx          Iny+3=2x+C1           eIny+3=e2x+C1            y+3=e2x·eC1              y+3=±eC1·e2x                  y=C·e2x-3    C=±eC1

Vi får samme løsning (heldigvis) som vi fikk tidligere.

Oppgaver