Fagstoff

Å løse andregradslikninger med abc - formelen

Publisert: 16.04.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

a+b2=a2+2ab+b2x+k2=x2+2xk+k2

Vi kan lage et fullstendig kvadrat av et generelt andregradsuttrykk. På den måten kan vi komme fram til en formel som vi alltid kan bruke til å løse andregradslikninger.

Vi ser på den generelle andregradslikningen ax2+bx+c=0. Her får vi et lite problem ved at de samme bokstavene er brukt både til å illustrere kvadratsetningen og andregradsuttrykket. Vi løser dette ved å bruke bokstavene og k i kvadratsetningen slik at denne blir x+k2=x22xk+k2

 

         ax2+bx+c=0                  Vi dividerer med a i alle ledd     x2+bax+ca=0                   x=x2=xx2+bax+k2=-ba+k2                ha 2xk=baxk=b2ax2+bax+b2a2=-ca+b2a2x+b2a2=b24a2-4a·c4a·ax+b2a2=b2-4ac4a2

x+b2a=+b2-4ac4a2  eller x+b2a=-b2-4ac4a2x=-b2a+b2-4ac4a2  eller x=-b2a-b2-4ac4a2x=-b+b2-4ac2a     eller x=-b-b2-4ac2a

 

abc - formelen
Andregradslikningen ax2+bx+c=0 har løsningene

x=-b±b2-4ac2a                          a0                                           b2-4ac0

Vi bruker tegnet ± for å spare  skriving.

Når vi løser en andregradslikning med abc - formelen, ordner vi først likningen slik at den kommer på formen ax2+bx+c=0.

Du husker at vi definerte kvadratroten bare til positive tall og null. Det vil si at andregradslikningen ikke har løsninger blant de reelle tallene når det som står under rottegnet, er mindre enn null. Kanskje det digitale verktøyet du bruker da gir løsninger med bokstaven i? Det vil si at løsningen er imaginær. 

Andregradslikningen har bare én løsning når det som står under rottegnet, er lik null. 

 Vi skal nå se på noen eksempler på bruk av abc - formelen.

Eksempel 1

         x2=5-4xx2+4x-5=0                            Vi ordner likningen og                                             finner at a=1, b=4, c=-5.          x=-4±42-4·1·-52·1   Vi setter inn i formelen.          x=-4±16+202          x=-4±362          x=-4+62   eller   x=-4-62          x=1           eller   x=-5

Likningen har to løsninger. Det er altså to verdier for x som passer i den opprinnelige likningen.

Eksempel 2

x2+4x+4=0          x=-4±42-4·1·42·1          x=-4±16-162=-4±02=-2          x=-2

Uttrykket under rottegnet er null, og vi får bare én løsning.

Eksempel 3

x2-2x+4=0           x=--2±-22-4·1·42           x=4±4-162=4±-122           Ingen løsning

Vi får −12 under rottegnet og -12 er ikke definert når vi regner med reelle tall. Vi får derfor ingen løsning, dvs. at det ikke finnes noe reelt tall som er slik at andregradsuttrykket på venstre side i likningen blir null.

Ved CAS i GeoGebra får vi følgende løsning med å bruke knappen Kommandoknapp for eksakt løsning i Geogebra. Bilde. 
Løse andregradslikning i GeoGebra. Bilde.  
Legg merke til markering for «ingen løsning»!
Oppgaver

Aktuelt stoff

Generelt

Relatert innhold