Fagstoff

Generell løsning av lineære førsteordens differensiallikninger

Publisert: 29.04.2013, Oppdatert: 08.03.2017

Generell løsning av førsteordens lineære differensiallikninger 1 

En lineær differensiallikning av første orden kan skrives på formen

y'+p(x)·y=q(x)

Differensiallikningen 2y'=12+4y er en slik likning og vi skal bruke denne til å vise hvordan vi generelt løser lineære førsteordens differensiallikninger.

 Vi lar her p(x) og q(x) være konstante tall for å gjøre fremstillingen så enkel som mulig, men fremgangsmåten er den samme om p(x) og q(x) er mer generelle funksjoner.

Generell løsning av førsteordens lineære differensiallikninger 2 

Eksempel

Et eksempel der p(x) og q(x) er konstante tall.

Bilde av en tenkeboble Gitt differensiallikningen 2y'=12+4y

Vi ordner likningen slik at vi får den 
på formen y'+p(x)·y=q(x).

Vi får

y'-2y=6

 

Bilde av en illustrasjon av en jente ved en datamaskin, og en tenkeboble Vi gjør nå et smart grep. Vi multipliserer alle ledd med konstanten e opphøyd i 
integralet til faktoren foran y, altså  ep(x)dx.

Faktoren foran y, p(x)=-2.

Siden -2dx=-2x+C multipliserer vi alle ledd med e-2x.

y'·e-2x-2y·e-2x=6·e-2x

Ser du at venstresiden i likningen nå blir lik y·e-2x'?

Vi kan vise at dette er riktig ved derivasjon hvor vi bruker 
produktregelen og kjerneregelen

y·e-2x'=y'·e-2x+y·e-2x'y·e-2x'=y'·e-2x+y·e-2x·-2x'y·e-2x'=y'·e-2x+y·e-2x·-2y·e-2x'=y'·e-2x-2y·e-2x

Bilde av en tenkeboble

Nå kan vi løse likningen ved integrasjon

y'·e-2x-2y·e-2x=6·e-2x           y·e-2x'=6·e-2x               y·e-2x=6·e-2xdx               y·e-2x=6-2·e-2x+C               y·e-2x=-3·e-2x+C                      y=-3+Ce-2x                      y=C·e2x-3                 

Vi kan kontrollere at denne løsningen stemmer for alle verdier av x ved å sette løsningen inn i den opprinnelige differensiallikningen 2y'=12+4y

Venstre side

2y'=2Ce2x-3'=2·2Ce2x=4Ce2x

Høyre side

12+4y=12+4Ce2x-3=12+4Ce2x-12=4Ce2x

Vi ser dermed at den generelle løsningen y=Ce2x-3 er en løsning av differensiallikningen for enhver verdi av C.

 

 Generell løsning av førsteordens lineære differensiallikninger 3 

Eksempel

Et eksempel hvor q(x) ikke er en konstant.

Vi skal løse
differensiallikningen y'+2y-6x=0.

Vi ordner først likningen slik at vi får den
Illustrasjon av en jente som sitter ved en datamaskin og en tenkeboble på formen y'+p(x)·y=q(x)

y'+2y=6x

Faktoren foran y, p(x)=2.

Siden 2dx=2x+C multipliserer vi alle ledd med e2x og får

          y'+2y=6xy'·e2x+2y·e2x=6x·e2x         y·e2x'=6x·e2x            y·e2x=6x·e2xdx

Bilde av en tenkeboble

 

Vi bruker nå delvis integrasjon for å regne ut integralet 
på høyre side i likningen

6xv·e2xu'dx=6xv·12e2xu-6v'·12e2xudx                =3x·e2x-32e2x+C

Vi fortsetter på differensiallikningen og finner 
den generelle løsningen

y·e2x=6x·e2xdxy·e2x=3x·e2x-32e2x+C     y=3x-32+Ce2x     y=3x-32+Ce-2x

 

 

 Generell løsning av førsteordens lineære differensiallikninger 4

Bilde av en tenkeboble Eksempel

Eksempel hvor p(x) ikke er en konstant.

Gitt differensiallikningen 6x-2xy-y'=0.

6x-2xy-y'=0      y'+2xy=6x

Faktoren foran y, p(x)=2x.

Bilde av en tenkeboble Siden 2xdx=x2+C multipliserer vi alle ledd med ex2 og får

y'·ex2+2x·y·ex2=6x·ex2            y·ex2'=6x·ex2               y·ex2=6x·ex2dx

Integrasjon med variabelskifte:

u=x2dudx=2xdx=du2x

Vi bruker integrasjon med variabelskifte for å 
integrere høyresiden.

y·ex2=6x·ex2dxy·ex2=32x·ex2dxy·ex2=32x·eu·du2xy·ex2=3euduy·ex2=3·eu+C     y=3·ex2ex2+Cex2    y=3+C·e-x2

Oppgaver