Fagstoff

Binomisk forsøk

Publisert: 10.04.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Multiple choice test Et binomisk forsøk består som kjent en serie med enkeltforsøk.

Et eksempel er en flervalgsprøve med fire uavhengige oppgaver. Hver oppgave har fire svaralternativer, og oppgaven skal besvares ved å krysse av for riktig svaralternativ.

Vi antar at en elev ikke er forberedt og tar prøven ved å gjette.

Vi lar den stokastiske variabelen X være antall riktige svar. Vi har da en binomisk forsøksrekke med n = 4 og p = 0,25.

Den stokastiske variabelen X er nå nettopp lik summen av antall rette på hver av enkeltforsøkene, og etter sentralgrensesetningen er X normalfordelt for store verdier av n.

Vi kan se om dette er tilfelle.

Vi starter altså med n = 4.

Tabellen nedenfor viser sannsynlighetsfordelingen for X.

 k

 PX=k

 0

 0,316

 1

 0,422

 2

 0,211

 3

 0,047

 4

 0,004

Vi tegner histogrammet til denne sannsynlighetsfordelingen.

Histogram, sannsynlighetsfordeling ved flervalgsprøve  

Vi regner ut forventningsverdi og standardavvik til den binomisk fordelingen

μ=np=4·0,25=1σ=np1-p=4·0,251-0,25=0,75

Vi tegner så normalfordelingsfunksjonen for X sammen med histogrammet over sannsynlighetsfordelingene.

Histogram og sannsynlighetsfordeling  

Vi kan ikke si at dette histogrammet faller sammen med grafen til normalfordelingsfunksjonen. Det betyr at X ikke er normalfordelt.

Vi øker så antall oppgaver på prøven, først til 34 og så til 100.

Vi sammenlikner histogrammene til sannsynlighetsfordelingene med kurvene til normalfordelingsfunksjonene.

Normalfordeling  

Vi ser at for økende verdier av n, blir sannsynlighetsfordelingene og normalfordelingsfunksjonene mer og mer overlappende.

For store verdier av n kan vi si at X er tilnærmet normalfordelt. Erfaring viser at hvis både n·p>10 og n·1-p>10, kan vi tilnærme X med en normalfordeling.

 

La X være antall suksesser i en binomisk forsøksrekke med uavhengige delforsøk, hvert med sannsynlighet p for «suksess».

 

Da er X tilnærmet normalfordelt hvis både n·p>10 og n·1-p>10.
I normalfordelingen er

 

μ=np  og  σ=np1-p

 

Summen av rekrutthøyder

Vi ser igjen på den stokastiske variabelen X som høyden til en tilfeldig rekrutt fra år 2008.

I tabellen har vi regnet ut forventningsverdien og standardavviket til X.

xP(X = x)x · P(X = x)(x − µ)2 · P(X = x)
162,50,0121,953,70
167,50,0498,217,73
172,50,15326,398,75
177,50,26847,571,76
182,50,28251,471,68
187,50,16530,949,13
192,50,05710,578,82
197,50,0132,573,95
Sum µ = 180,1Var(X) = 45,5
Standardavvik  σ = 6,8

La S være summen av høydene til 100 tilfeldig uttrukne rekrutter.

S=X1+X2+...+X100

Sentralgrensesetningen sier at da er S normalfordelt med forventningsverdi og standardavvik

µ = 100 · 180,1 = 18010

σ=100·6,8=86

Oppgaver

Generelt

Relatert innhold

Generelt