Fagstoff

Andre anvendelser av integrasjon, samlet mengde

Publisert: 23.04.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Samlet mengde 

Vi har sett at ved å regne med bestemte integraler, kan vi finne arealet under kurver. Vi kan også bruke bestemte integraler til å løse andre typer problemer.

Samlet menge

Eksempel

 

Erlend er ferdig med sin utdannelse og blir tilbudt jobb. Lønnsbetingelsene er å starte med en årlig inntekt på 270 000 kroner for deretter å stige i lønn med 7 % per år.

Bilde av pengerHva vil den samlede inntekten til Erlend være de neste 20 årene?

Hva vil den samlede inntekten til Erlend være de neste 20 årene?

 

Løsning

Lønnen etter x år vil være gitt ved funksjonen Lx=270 000·1,07x.

Hvis lønnen justeres én gang per år vil samlet lønn for 20 år være

270 000·1+27 000·1,07·1+270 000·1,072·1+....+270 000·1,0719·1=f0·1+f1·1+f2·1+....+f19·111 068 78311 000 000

Ser du at samlet lønn er representert med summen av arealene til rektanglene nedenfor?

Bilde av et koordinatsystem

Til å regne ut den samlede lønnen kan vi bruke kommandoen SumUnder[ ] i GeoGebra.

Bilde av screenshot fra programvaren GeoGebra
Hvis lønnen justeres hver måned, kan vi dele hvert rektangel i 12 mindre rektangler, og de små hvite feltene mellom kurven og rektanglene blir veldig små. Dersom lønnen stiger jevnt gjennom hele året, vil det bestemte integralet gi en helt riktig verdi av samlet lønn.

Kommandoeri wxMaxima  

Oppsummering

 

La funksjonen f(t) beskrive en mengde per tidsenhet. Vi finner en tilnærmet verdi for samlet mengde, S, i tidsrommet fra t = a til t = b ved å regne ut det bestemte integralet

 

S=abf(t)dt