Fagstoff

Standardisert normalfordeling

Publisert: 10.04.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Når vi skal beregne sannsynligheter knyttet til normalfordelingen på del 1 til eksamen, må vi bruke den standardiserte normalfordelingen.

En standardisert normalfordeling er en normalfordeling med forventningsverdi lik 0 og standardavvik lik 1.

Standarisert normalfordeling. Illustrasjon.  La X være en normalfordelt stokastisk variabel med forventningsverdi μ og standardavvik σ.

Vi innfører en ny stokastisk variabel Z.

Ved å la verdiene i Z være verdiene til X fratrukket forventningsverdien, får vi normalfordelingskurven til Z til å ligge symmetrisk om y- aksen. I tillegg dividerer vi med standardavviket for at standardavviket til Z skal være lik 1.

Den stokastiske variabelen Z defineres ved

Z=X-μσ

Det kan da vises at Z har forventningsverdi μ=0 og standardavvik σ=1.Stokastisk variabel, utregning av E(Z) og Var(Z). Illustrasjon.  

Vi kan finne P(Z ≤ z) som arealet markert med blått under grafen til g.

Tenkeboble, forklar hvorfor P. Illustrasjon.   

Følgende tabell (blir oppgitt på del 1-eksamen) viser ulike sannsynligheter P(Z ≤ z) i denne fordelingen. Du trenger bare positive verdier for z på grunn av symmetrien,
P
(Z ≤ −z) = P(Z ≥ z).

Sannsynlighet. Tabell.   

For en vilkårlig annen normalfordelt stokastisk variabel, X, kan vi regne en x- verdi om til en z- verdi og finne sannsynligheter i X- fordelingen ved at P(Z ≤ x) = P(Z ≤ z).

Sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra regnet ut at sannsynligheten for at en rekrutt hadde en høyde mellom 170 cm og 185 cm var 0,696, P(170 ≤ X  ≤  185) = 0,696.

Dette kan vi også finne ved å bruke standard normalfordeling. Vi regner først x- verdiene om til z- verdier.

x=185z=x-μσ=185-180,16,8=0,72x=170z=x-μσ=170-180,16,8=-1,49

Det betyr at

P170<X<185=P-1,49<Z<0,72

Normalfordelingskurve. Illustrasjon.   

 P-1,49Z0,72=PZ0,72-PZ-1,49

PZ0,72 og PZ-1,49 finner vi i tabellen ovenfor.

Tabellen gir at PZ0,720,76424 som vist nedenfor.

Normalfordeling. Tabell.   

For å finne PZ-1,49, må vi også bruke «symmetrien» i normalfordelingen og at samlet sannsynlighet er lik 1

PZ-1,49=PZ1,49=1-PZ1,49=1-0,931890,06811.

Da har vi at

P170X185=P-1,49Z0,72=PZ0,72-PZ-1,490,76424-0,068110,69613

Dette er det samme som sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra regnet ut, da med 3 desimalers nøyaktighet.

Vi kan også gå motsatt vei. Vi kan for eksempel finne hvor høy en rekrutt må være for å være blant de 30 % som er høyest.

I normalfordelingstabellen finner vi P(Z ≤ z). Vi må da finne hvilken z- verdi som tilsvarer en sannsynlighet på 70 % eller 0,7000.

Vi finner ikke sannsynligheten 0,7000 i tabellen, men vi finner at når z = 0,52, er sannsynligheten 0,6985, og når z = 0,53, er sannsynligheten lik 0,7019. Vi bruker verdien
z
= 0,525.

Det betyr at

     x-μσ=0,525x-180,16,8=0,525           x=0,525·6,8+180,1           x=183,7

Vi kan altså regne med at 30 % av de vernepliktige er høyere enn 183,7 cm.

Oppgaver

Generelt

Relatert innhold

Generelt