Fagstoff

Normalfordelingen

Publisert: 10.04.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

RekrutterHvor høy er en vernepliktig rekrutt?Forsvaret måler hvert år hvor høye rekruttene som skal inn til førstegangstjeneste, er. Resultatene fra disse målingene blir samlet i offentlige statistikker.

Den første tabellen er hentet fra Statistisk sentralbyrå. Rekruttene er inndelt i klasser basert på høyde, og tabellen viser prosentandel rekrutter i de ulike klassene.

Tabellen viser også gjennomsnittshøyde for hvert år. Gjennomsnittshøyden økte gjennom store deler av nittenhundretallet for så å stagnere.

Tabell over prosentvis fordeling av rekruttene høyde  

Rekrutthøyder 2008 Tabellen viser resultatene fra 2008. Vi har samlet alle som var lavere enn 165 cm i klassen [160,165>og alle som var 195 cm eller høyere i klassen
[195, 200>.

I tredje kolonne vises de relative frekvenser som per definisjon tilsvarer sannsynligheten for at en tilfeldig rekrutt har høyden i denne klassen.

 

 

Vi vil framstille fordelingen i et histogram. Vi dividerer relativ frekvens med klassebredde for å finne histogramhøyde. Se fjerde kolonne i tabellen. Da er arealet av hvert rektangel i histogrammet lik den relative frekvensen (sannsynligheten) for klassen, og det samlede arealet av rektanglene er lik 1.

Tenkeboble, histogramhøyde  

Standardavvik tabell Vi trekker tilfeldig en rekrutt fra 2008 og lar den stokastiske variabelen X være høyden til rekrutten.

Vi lar alle rekrutter som tilhører samme klasse ha klassemidtpunktet som høyde. Da kan vi lage sannsynlighetsfordelingen til X og regne ut forventningsverdi og standardavvik som vist i tabellen.

Tenkeboble, forventningsverdien   

Histogramhøyde 1  

Arealene til rektanglene i histogrammet illustrerer sannsynlighetsfordelingen til X.

Arealet til det grønne rektanglet viser sannsynligheten for at rekrutten vi trekker har en høyde på 177,5 cm, altså at høyden er mellom 175 cm og 180 cm.

Klokkeformet kurve rundt sannsynlighetsfordeling Det viser seg at høydene til rekruttene fordeler seg tilnærmet symmetrisk rundt forventningsverdien, og kurven som er best mulig tilpasset histogrammet, har en karakteristisk klokke- eller bjelleform.

Hvis klassebredden endres til én centimeter, vil hvert rektangel i histogrammet deles i fem smale rektangler og det viser seg at arealene til rektanglene da tilnærmet overlapper arealet under kurven.

Sannsynlighetsfordeling Sannsynlighetsfordelingen til X er tilnærmet representert ved arealet under «bjellekurven».
For eksempel er sannsynligheten for at en tilfeldig uttrukket rekrutt har høyde mellom 170 cm og 185 cm illustrert med det arealet som er markert med blått på figuren. Dvs.

P170X180=0,696

 

Funksjonen med den karakteristiske bjelleformede grafen kalles normalfordelingsfunksjonen. Siden histogrammet som viser sannsynlighetsfordelingen til rekrutthøydene, omtrent faller sammen med grafen til normalfordelingsfunksjonen, sier vi at rekrutthøydene er normalfordelt.

Det viser seg at mange andre størrelser også er normalfordelt. Et eksempel er karakterfordelingen ved en eksamen. Andre eksempler er vekt og størrelser av dyr.

Tenkeboble, legg merke til Funksjonsuttrykket til normalfordelingsfunksjonen er gitt ved

fx=1σ2π·e-x-μ22σ2

Dette uttrykket ser rimelig komplisert ut, men det trenger du ikke bekymre deg for.

De eneste størrelsene i uttrykket som varierer, er forventningsverdien og standardavviket, μ og σ. Det er kun disse størrelsene du må oppgi når du bruker et digitalt verktøy.

Normalfordeling, GeoGebra Du kan få fram grafen til normalfordelingsfunksjonen til en sannsynlighetsfordeling ved å bruke «Sannsynlighetskalkulator» i GeoGebra.

Du må da velge «Normalfordeling» og oppgi verdiene for μ og σ.

Du beregner sannsynligheter ved å fylle inn tall på siste linje i kalkulatoren.

Vi bruker kalkulatoren på våre normalfordelte rekrutthøyder, og kalkulatoren viser at sannsynligheten for at en tilfeldig uttrukket rekrutt har høyde mellom 170 cm og 185 cm er lik 0,696.

P170X180=0,696

 

Normalfordeling, GeoGebra

Kalkulatoren kan også brukes «motsatt vei».

Vi ønsker for eksempel å finne hvor høy en rekrutt må være for å være blant de 20 % som er høyest.

Da velger du «Høyresidig sannsynlighet» og skriver inn 0,2 som «svar». Sannsynlighetskalkulatoren gir at

P185,8X=0,2. Det betyr at en rekrutt som har en høyde på 185,8 cm eller mer er blant de 20 % høyeste rekruttene.

 

Det kan vises at normalfordelingskurven alltid er symmetrisk om x = μ. Standardavviket definerer høyde og bredde på kurven. Men kurven har alltid den karakteristiske bjelleformen.

Normalfordeling, GeoGebra Det viser seg at alle normalfordelinger gir den samme sannsynligheten når vi går et visst antall standardavvik til hver side for forventningsverdien.

68,2 % av arealet ligger i området μ±1σ.

95,4 % av arealet ligger i området μ±2σ.

99,6 % av arealet ligger i området μ±3σ.

Bruk sannsynlighetskalkulatoren til å sjekke om dette stemmer for rekrutthøydefordelingen.

 

Normalfordelingssetningen

 

La en X være en stokastisk variabel med forventningsverdi μ og standardavvik σ.

 

Vi sier at X er normalfordelt hvis histogrammet til sannsynlighetsfordelingen til X omtrent faller sammen med normalfordelingsfunksjonen til X.

 

Normalfordelingsfunksjonen er gitt ved fx=1σ2π·e-x-μ22σ2

 

Sannsynligheten for at X ligger mellom to bestemte verdier, a og b, er gitt ved arealet under normalfordelingskurven til X fra a til b.

Oppgaver

Generelt

Relatert innhold

Generelt