Fagstoff

Forventningsverdi og standardavvik i en binomisk fordeling

Publisert: 10.04.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Multiple choice test En binomisk forsøksrekke består som vi tidligere har sett, av n delforsøk med samme sannsynlighet for «suksess».

Vi ser igjen på matematikkprøven med fire deloppgaver, hver med fire svaralternativer.

Vi lar den stokastiske variabelen Y være antall riktige svar på én oppgave.  Y kan da ha verdien 0 eller 1. 0 svarer til at svaret er feil («fiasko»), og 1 at svaret er riktig («suksess»).

y10Sum
P(Y = y) 14 34 1
y · P(Y = y) 1·14 0·34 μ=EY=1·14+0·34=14
(Y − μ)2 · P(Y = y)
1-142·14  0-142·34VarY=342·14+-142·34        =34·1434+14=316 

 

Den stokastiske variabelen som viser antall riktige svar når prøven består av 4 oppgaver, betegner vi som S4, summen av antall rette på 4 opgaver.

S4=Y1+Y2+Y3+Y4

I forrige avsnitt så vi at

ES4=4·EY=4·14=1  og VarS4=4·VarY=4·316=1216=34

Generelt binomisk forsøk

Vi skal nå se helt generelt på et binomisk forsøk med n delforsøk. Sannsynligheten for «suksess» er den samme i hvert delforsøk, og vi setter denne lik .

Tabellen nedenfor viser sannsynlighetsfordelingen med forventningsverdi og varians for hvert enkelt delforsøk.

y10Sum
P(Y = y)p1-p 
y · P(Y = y) 1·p 0·1-p EY=1·p+0·1-p=p
(Y − μ)2 · P(Y = y)
1-p2·p  0-p2·1-pVarY=1-p2·p+0-p2·1-p         =1-p2·p+p2·1-p         =p1-p1-p+p         =p1-p 

Vi lar nå den stokastiske variabelen stå for antall «suksess» når vi har n uavhengige delforsøk.

S=Y1+Y2+...+Yn

Da er

μ=ES=n·EY=n·p   og  VarS=n·VarY=n·p·1-p

 

Forventningsverdi og standardavvik i en binomisk fordeling

 

La X være antall «suksesser» i en binomisk forsøksrekke med n uavhengige delforsøk, hvert med sannsynlighet p for «suksess».

 

Forventningsverdien og standardavviket til X er da gitt ved

 

μ=EX=np     og    σ=np1-p

 

Relatert innhold

Faglig