Fagstoff

Forventningsverdi og varians for summer av stokastiske variabler

Publisert: 09.04.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

To tikroner Tenk deg nå at vi lager to pengespill ved kast av to tikroner. Gevinstene i de to spillene er gitt ved de stokastiske variablene Y og Z.

I det første spillet er gevinsten null hvis du får null kron, gevinsten er 5 kroner hvis du får én kron og gevinsten er 10 kroner hvis du får to kron.
Y kan altså ha de tre verdiene 0, 5 og 10 med sannsynlighetsfordelingen gitt i tabellen nedenfor.

I det andre spillet er gevinsten 2 kroner hvis du får null kron, gevinsten er 7 kroner hvis du får én kron og gevinsten er 12 kroner hvis du får to kron.
Z kan altså ha de tre verdiene 2, 7 og 12 med sannsynlighetsfordelingen gitt i tabellen nedenfor.

y0510SumSD(Y)
P(Y = y)0,250,500,251 
y · P(Y = y)02,502,50μ = 5,00 
(y – μ)2 · P(Y = y)6,2506,25Var(Y) = 12,5σ = 3,54

 

x
2
7
12SumSD(Z)
P(Z = z)0,250,500,251,0 
z· P(Z = z)03,503,00μ = 7,00 
(z – μ)2 · P(Z = z)6,2506,25Var(Y) = 12,5σ = 3,54

 

Tabellene viser også beregninger av forventningsverdi, varians og standardavvik til de stokastiske variablene Y og Z.

Tenkeboble, forklar hvorfor 

Vi lager et nytt spill som består i å spille begge spillene ovenfor og definerer samlet gevinst som en ny stokastisk variabel som vi kaller S.

Det betyr at S = Y + Z.

De to enkeltspillene som spill S består av, er uavhengige av hverandre. Det betyr at resultatet fra spill Y ikke påvirker resultatet i spill Z.

Verdimengden til S består av alle kombinasjoner av verdier fra Y og Z. Ved hjelp av addisjons- og produktsetningene for uavhengige hendelser kan vi regne ut sannsynlighetene for de enkelte verdiene i S.

PS=2=PY=0·PZ=2=0,25·0,25=0,0625PS=7=PY=0·PZ=7+PY=5·PZ=2=0,25·0,5+0,5·0,25=0,25PS=12=PY=0·PZ=12+PY=5·PZ=7+PY=10·PZ=2=0,25·0,25+0,5·0,5+0,25·0,25=0,0625+0,25+0,0625=0,375PS=17=PY=5·PZ=12+PY=10·PZ=7=0,5·0,25+0,25·0,5=0,25PS=22=PY=10·PZ=12=0,25·0,25=0,0625

Vi setter resultatene inn i en tabell og regner ut forventningsverdi og varians for S.

S27121722Sum
P(S = s)0,06250,2500,3750,2500,0625 
s · P(S = s)0,1251,7504,504,251,375μ = 12,0
(s – μ)2 · P(S = s)6,256,250,006,256,25Var(S) = 25,0

Denne tabellen sammen med tabellene for Y og Z viser at

ES=12=5+7=EY+EZVarS=25=12,5+12,5=varY+VarZ

Disse sammenhengene gjelder generelt. (Vi tar ikke med bevisene her.)

Det betyr også at når vi gjentar samme forsøk et bestemt antall ganger, er samlet forventningsverdi og varians lik forventningsverdi og varians til enkeltforsøket multiplisert med antall forsøk.

 

Forventningsverdi og varians for summer av stokastiske variabler

 

La X og Y være to uavhengige stokastiske variabler.

 

Da er

EX+Y=EX+EYVarX+Y=VarX+VarY

 

La X være en stokastisk variabel med forventningsverdi μ og standardavvik σX=VarX
La S være summen av n uavhengige forsøk med X

S=X1+X2+...+Xn

 

Da er


ES=n·EXVarS=n·VarX

 

Det betyr igjen at forventningsverdien og standadavviket til er gitt ved

μS=n·μxσS=n·VarX=n·VarX=n·σx