Fagstoff

Eksponentialfunksjon som modell

Publisert: 25.04.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Eksponentialfunksjonen som modell 

Eksempel

Kari kjøper en fire år gammel bil for 200 000 kroner. Bilens verdi har sunket med 10 % hvert år siden den var ny. Vi regner med at denne verdireduksjonen vil fortsette de neste årene.

Bilens verdi V(x), x år etter at Kari kjøpte den, er da gitt ved modellen

V(x)=200 000·0,90x

Bilde av koordinatsystem 

Av grafen til funksjonen V kan vi lese at bilens verdi vil ha sunket til 100 000 kroner etter 6,6 år.

Avlesning på grafen viser også at bilens verdi for 4 år siden, altså bilens pris som ny, var nærmere 305 000 kroner.

Funksjonen V er en eksponentialfunksjon.

Eksponentialfunksjoner kan skrives på formen

f(x)=a·bx    der a og b er konstante tall.

Legg merke til at x her er eksponent i potensen.

I GeoGebra velger du «Eksponentiell» som regresjonsmodell.

SolsikkerSolsikker i blomst. Toscana, Italia. Eksempel

Siv ville finne ut hvordan en solsikke hun hadde i hagen, vokste uke for uke. Hun målte høyden til solsikken hver uke i åtte uker. De observerte verdiene ser du i tabellen nedenfor.



 

   Etter x uker       1       2    3    4    5    6     7     8
   Høyde i cm   16   20      27      40      56      68      107      140   


Bilde av et koordinatsystem Vi markerer datamaterialet fra tabellen som punkter i et koordinatsystem.

Det ser ut som solsikken vokser raskere og raskere. Det er derfor naturlig å prøve med eksponentiell regresjon.

Eksponentiell regresjon i GeoGebra gir

f(x)=11·1,37x

 

 

Solsikken var ca. 10,9 cm da Siv begynte å måle. Dersom vi skriver funksjonsuttrykket på denne formen, ser vi at den har vokst med ca. 37 % hver uke.

Vi ser at kurven stemmer bra med de observerte verdiene, men det er viktig å legge merke til at modellen vi fant her bare gjelder i et begrenset tidsintervall.

Det vil være naturlig at veksten til solsikken vil avta og etter hvert stoppe helt opp.

Det kan derfor være at en logistisk modell her vil være bedre. Logistiske modeller omtales i kapitlet om differensiallikninger.

 

Oppgaver

Generelt