Fagstoff

Andre anvendelser av integral, volum av omdreiningslegemer

Publisert: 23.04.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Volum av omdreiningslegeme 

Volum av omdreiningslegmer

Hvis vi dreier grafen til en funksjon 360° om x-aksen, får vi et omdreiningslegeme. Formen på omdreiningslegemet avhenger av formen på grafen. Hvis grafen er en rett linje, blir omdreiningslegemet en kjegle eller en avkortet kjegle. Se figurene nedenfor.

Bilde av to grafer med omdreiningslegeme  Bilde av en tenkeboble

 

Hvis vi dreier en halvsirkel 360° om diameteren,
får vi en kule.

 

 

La f(x) være en vilkårlig funksjon som dreies 360° om x-aksen. Se figur.

Bilde av en graf Vi vil finne volumet av omdreiningslegemet som framkommer mellom x1 og x2.

Vi ser at radien til en snittsirkel er lik funksjonsverdien for den aktuelle
x
- verdien

r=fx

Arealet av en snittsirkel blir

A(x)=π·r2=π·fx2

Vi får en generell formel for volumet av omdreiningslegemer

 

V=x1x2Axdx=x1x2π·fx2dx=πx1x2fx2dx