Fagstoff

Andre anvendelser av integrasjon, volum

Publisert: 23.04.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Volum av kule 

Volum

Tenk deg at du deler et egg med eggdeler. Da får du parallelle skiver med samme tykkelse, men med ulik størrelse. Skivene får tilnærmet form som sylindre.


Summen av volumene til alle skivene er lik volumet
til egget.Bilde av egg som deles i eggedelerEgget deles opp i skiver med samme tykkelse. Skivene får tilnærmet form som sylindre.

Bilde av en figur som illustrerer volum av en skive  

Av figuren ovenfor ser du at Ax·x er en tilnærmingsverdi for volumet av én skive.

En tilnærmingsverdi for det samlede volumet kan vi finne ved å summere volumet av alle skivene. Når x blir veldig liten, nærmer denne summen seg volumet av egget

V=limx0Σx1x2Ax·x=x1x2Axdx

Volumet av en kule

Bilde av en kule Vi kan bruke dette til å vise at volumet av en kule er gitt ved V=43πr3.

Til høyre har vi tegnet en kule med radius r.
Snittflaten i kulen er en sirkel. Radius i denne sirkelen kaller vi rx.

Arealet av snittsirkelen er da

Ax=πrx2

Vi bruker Pytagoras’ setning og finner rx uttrykt ved r og x

rx2=r2-x2rx=r2-x2

Bilde av ulike geometriske formerHusker du formlene for å regne ut volumet av de geometriske formene ovenfor? Hvilke av formlene kan vi se ved hjelp av integrasjon? Arealet av snittflaten er dermed gitt ved

Ax=π·rx2=π·r2-x22=πr2-x2

Volumet blir

V=-rrπr2-x2dx  =-rrπr2dx--rrπx2dx  =πr2-rr1dx-π-rrx2dx  =πr2·x-π13x3-rr-rr

  =πr2·r--r-π·13r3--13r3  =πr3+πr3-πr33+πr33  =3πr3+3πr3-πr3-πr33  =4πr33