Fagstoff

Areal mellom en graf og x-aksen

Publisert: 23.04.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Areal over og under x-aksen 

I Bestemte integraler  så vi at bestemte integraler gjør det mulig for oss å beregne arealer avgrenset av krumme kurver.

Vi skal nå arbeide litt mer med arealberegninger.

Vi har sett at hvis fx0 for xa,b, kan vi finne arealet avgrenset av grafen til f,
x
- aksen og linjene x = a og x = b ved å regne ut det bestemte integralet

abfxdx

Eksempel

Bilde av en graf Til høyre har vi tegnet grafen til funksjonen f gitt ved fx=x2+2.

 

Arealet av området som er markert med blått er

A=24fxdx=24x2+2dx  =13x3+2x24=883-203=68322,7

 

Bilde av en graf og en tenkeboble  Du prøvde kanskje å finne arealet ved å regne ut 24gxdx?

24gxdx=24-x2-2dx            =-13x3-2x24=-883+203=-683-22,7

Siden g(x)<0 for x2,4, blir limx0Σ24g(x)·x=24g(x)dx<0

Arealet er en positiv størrelse. Arealet er derfor det negative integralet

A=-24g(x)dx=-24-x2-2dx  =--13x3-2x24=--883+203=68322,7

Bilde av en tenkeboble og en graf 
Siden det ene området ligger over x-aksen, og det andre området ligger under x-aksen, må vi regne ut arealet av hvert område hver for seg. Vi må først finne ut hvor grafen til h skjærer x-aksen.

Vi finner skjæringspunktene med x-aksen

     h(x)=0-x2+10=0          x=-10    x=10

Arealet blir

A=110h(x)dx-105h(x)dx  =110-x2+10dx-105-x2+10dx  =-13x3+10x110--13x3+10x105  =2010-293-25-20103  =40103-1824,2

Bilde av en tenkeboble